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Anwendungen auf die Flächentheorie

  • Adalbert Duschek
  • August Hochrainer
Chapter

Zusammenfassung

Die Flächen des euklidischen Raumes, die wir in den ÷÷ 20 bis 22 betrachtet haben, sind Beispiele zweidimensionaler Riemannscher Räume, wenn wir uns auf die Eigenschaften beschränken, die allein aus der ersten Grundform abgeleitet werden können. Wir bezeichnen die Parameter u, y jetzt mit u 1, u 2 oder zusammengefaßt mit u x , wobei die griechischen Indizes jetzt Repräsentar-ten der Zahlen 1 und 2 sein sollen. Diese Parameter sind Koordinaten auf der Fläche und treten an die Stelle der x i der §§ 34 bis 36; die im folgenden verwendeten x i sind rechtwinkelige kartesische Koordinaten im euklidischen R 3, die lateinischen Indizes laufen von 1 bis 3. Setzen wir
(37,01)
so geht (20, 08) über in
(37,02)
was bis auf die Bezeichnung der Koordinaten und bis auf die spezielle Wahl n = 2 mit (34, 18) übereinstimmt. Die in den §§ 20 bis 22 betrachteten „Flächenvektoren“, die tangential zur Fläche verlaufen, sind die Vektoren des zweidimensionalen Riemannschen Raumes; die g αβ sind die Koordinaten des (positiv definiten) Maßtensors usw. Die Geometrie eines zweidimensionalen Riemannschen Raumes deckt sich mit dem, was man in der Regel als „Geometrie auf der Fläche“ bezeichnet.

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Copyright information

© Springer-Verlag Wien 1961

Authors and Affiliations

  • Adalbert Duschek
    • 1
  • August Hochrainer
    • 2
  1. 1.Technischen Hochschule WienDeutschland
  2. 2.Hochspannungs-Schaltgerätefabrik der AEGKasselDeutschland

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