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Der Riemannsche Krümmungstensor

  • Adalbert Duschek
  • August Hochrainer
Chapter

Zusammenfassung

Wir kehren nun nochmals zur Betrachtung der Parallelverschiebung (35, 03) bzw. (35, 16) zurück. Es seien P0 und P zwei beliebige Punkte des Riemannschen R n und in P0 sei ein Vektor A i gegeben. Wir verbinden Po und P durch eine Kurve mit der Parameterdarstellung x i (t) so daß dem Punkt P0 der Parameterwert t 0 dem Punkt P der Parameterwert t entspricht. Dann erhalten wir den Vektor A i in P der aus A i durch Parallel-verschiebung längs D entsteht, durch Integration der Differential- gleichung (35, 16) in der Form einer linearen Integralgleichung
(36,01)
Offenbar hängen die A i in P nicht nur von den Koordinaten von P selbst, sondern auch von der P0 mit P verbindenden Kurve ab, d. h. wir bekommen, wenn wir eine andere Verbindungskurve wählen, auch einen anderen Vektor in P und es wird dann und nur dann sein, wenn das Integral in (36, 01) vom Weg unabhängig, der Integrand also ein vollständiges Differential ist. Die Bedingung dafür ist bekanntlich
(36,02)
Wegen (35, 16) ist aber
ein ganz analoger Ausdruck ergibt sich für den Subtrahenden von (36, 02) durch Vertauschung von h und 1. Setzen wir
(36,03)
so folgt daher aus (36, o2)
und, wenn dies für alle Vektoren A k gelten soll,
(36,04)
(36, 03) ist der (gemischte) Riemannsche Krümmungstensor; daß es sich hier wirklich um einen einfachen kontravarianten, dreifachen kovarianten Tensor vierter Stufe handelt, kann man — etwas umständlich — durch den Nachweis des entsprechenden Transformationsgesetzes unter Benützung von (35, 18) bestätigen. Wir können uns aber die Rechnung ersparen, da wir sofort von einer anderen Fragestellung aus in einfacher Weise zu demselben Resultat kommen.

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Copyright information

© Springer-Verlag Wien 1961

Authors and Affiliations

  • Adalbert Duschek
    • 1
  • August Hochrainer
    • 2
  1. 1.Technischen Hochschule WienDeutschland
  2. 2.Hochspannungs-Schaltgerätefabrik der AEGKasselDeutschland

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