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Ternäre bilineare Formen mit kogredienten Veränderlichen. Automorphe Transformationen quadratischer Formen

  • E. Study
Chapter
Part of the Die Wissenschaft book series (W)

Zusammenfassung

Halten wir an unserer bisherigen Annahme n = 3 fest, betrachten wir aber nunmehr eine bilineare Form des Typus
$$ F = \left( {XA} \right)\left( {BY} \right) $$
oder eine Form von kontragredientem Typus, so haben wir ein von dem vorigen völlig verschiedenes Problem vor uns, wenn auch hier die Frage nach einem „vollständigen Formensystem“ von F (nach Invarianten des Kernes von F und zweier Vektoren X und U gegenüber der Gruppe G) gestellt werden soll. Unsere nunmehrige Aufgabe aber ist einfacher als die soeben behandelte, sie läßt sich im Augenblick erledigen. Setzen wir nämlich (L Z)2 = (A Z) (B Z), also
$$ \left( {XL} \right)\left( {LY} \right) = \frac{1} {2}\left\{ {\left( {XA} \right)\left( {BY} \right) + \left( {XB} \right)\left( {AY} \right)} \right\} $$
(1)
und
$$ \left( {QU} \right) = - \frac{1} {2}\left( {ABU} \right) $$
(2)
so haben wir in der Formel
$$ \left( {XA} \right)\left( {BY} \right) = \left( {XL} \right)\left( {LY} \right) + \left( {XQY} \right) $$
(3)
eine invariante Zerlegung der Form F vor uns (vgl. S. 117), derzufolge sogar in einem System, das außer dem Kern von F noch beliebig viele Vektoren X 1 ... X μ U1 ... U v umfaßt, sich ein vollständiges und kleinstes System ganzer rationaler Invarianten sogleich hinschreiben läßt. Man hat nämlich nur den genannten Vektoren die Kerne der beiden Formen
$$ \left( {QU} \right),\,\left( {LZ} \right)^2 $$
hinzuzufügen. Da die erste von diesen selbst linear, die zweite aber eine quadratische Form ist, so ist damit die vorgelegte Aufgabe auf eine schon erledigte zurückgeführt (S. 134 bis 140).

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 1923

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  • E. Study

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