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Fortsetzung: Die Kovarianten (S X)3 und (Σ U)3

  • E. Study
Chapter
Part of the Die Wissenschaft book series (W)

Zusammenfassung

Die von uns E 1, E 2, E 3 und H 1, H 2, H 3 genannten bilinearen Formen unterscheiden sich voneinander nur so, wie die Formen T und T, nämlich durch die Anordnung der in ihnen vorkommenden Veränderlichen X und U. Nennen wir sie in ihrer Eigenschaft als Funktionen von X und U nunmehr Θ1, Θ2, Θ3, so werden diese Formen, irrationale Kovarianten nullten Grades der Grundform F, zunächst nur von dem linearen System der Formen F 0, F 1, F 2, ... abhängen (S. 174). Sie bleiben bestimmt und behalten ihre Werte, wenn man F ersetzt durch F*, wo
$$ F* = C_2 \cdot F_0 + C_1 \cdot F_1 + C_0 \cdot F_2 $$
ist, solange nur keine zwei der Werte
$$ \Lambda _\alpha ^* = C_2 \cdot \Lambda _\alpha ^0 + C_1 \cdot \Lambda _\alpha ^1 + C_0 \cdot \Lambda _\alpha ^2 $$
einander gleich sind. Da jeder Faktor des symbolischen Produkts
$$ \left( {T* - \Lambda _1^* {\text{E}}} \right)\left( {T* - \Lambda _2^* {\text{E}}} \right)\left( {T* - \Lambda _3^* {\text{E}}} \right) $$
durch den entsprechenden Faktor T − Λα E teilbar ist, so ist das angeführte Produkt identisch gleich Null, Λ*1, Λ*2 und Λ*3 sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, die zu der Form F* gehört. Die den Koeffizienten C2, C 1, C 0 aufzuerlegende Bedingung aber ist das Nichtverschwinden des Differenzenproduktes
$$ \Pi * = \left( {\Lambda _2^* - \Lambda _3^* } \right)\left( {\Lambda _3^* - \Lambda _1^* } \right)\left( {\Lambda _1^* - \Lambda _2^* } \right) $$
oder das Nichtverschwinden des ersten Faktors in dem Produkt
$$ \Pi * = \left\{ {C_1^3 + 2C_0 C_1^2 \cdot J_1 + C_0^2 C_1 \cdot \left( {J_1^2 + J_2 } \right) + C_0^3 \cdot \left( {J_1 J_2 - J_3 } \right)} \right\} \cdot \Pi $$
(1)
.

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 1923

Authors and Affiliations

  • E. Study

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