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Unendliche Reihen und Produkte

  • Emanuel Czuber
Chapter

Zusammenfassung

Eine unbegrenzt fortsetzbare oder unendliche Folge reeller Zahlen
$$ {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots , $$
kurz (a n ), kann bei fortschreitender Verfolgung ihrer Glieder ein verschiedenes Verhalten zeigen.

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Literatur

  1. 1).
    Die Einführung unendlicher Reihen in die Mathematik reicht ins 17. Jahrhundert zurück; ihre richtige Behandlung lehrte aber erst das vorige Jahrhundert.Google Scholar
  2. 1).
    Das Wort „Konvergenz41 kommt, auf Umfénge von Sehnen- und Tangentenpolygonen mit wachsender Seitenanzahl angewendet, zum erstenmal bei dem englischen Mathematiker J. Gregory (1667) vor und hat sich seither in der ganzen Mathematik eingebürgert.Google Scholar
  3. 2).
    Diese allgemeine Bedingung der Konvergenz hat zuerst B. Bolzano (1817) angegeben; doch ist sie erst durch Cauchys Schriften weiter bekannt geworden, dem auch meist die Priorität zugesprochen wird.Google Scholar
  4. 3).
    Dieses Wort in seiner Anwendung auf Reihen, aber wahrscheinlich noch nicht in dem heutigen Sinne gemeint, kommt zum erstenmal bei Nik. I. Bernoulli (1713) vor.Google Scholar
  5. 2).
    Die Summenformel für die fallende geometrische Reihe ist schon 1593 von F. Vieta gefunden worden.Google Scholar
  6. 3).
    Ein Beweis für die naive Auffassung, der die unendlichen Reihen anfänglich begegneten, ist darin zu erblicken, daß G. Grandi 1703 für diese Reihe in unbedenklicher Anwendung der Formel (10) die Summe 1/2 angab und daß über die Möglichkeit dieses Resultates ein ernster Streit gefuhrt wurde.Google Scholar
  7. 1).
    Auf diesem Wege hat Jak. Bernoulli die Divergenz der harmonischen Reihe zuerst erkannt (Wende vom 17. zum 18. Jhrh.).Google Scholar
  8. 2).
    Mittels dieses Paradoxons hat Joh. Bernoulli die Divergenz nachgewiesen.Google Scholar
  9. 1).
    Bei einigen speziellen nichtabsolut konvergenten Reiben hatten schon A. Cauchy (1823) und G. Lejeune-Dirichlet (1837) das eigentümliche Verhalten erkannt; den obigen allgemeinen Satz bat aber erst B. Riemann aufgestellt und bewiesen (1867).Google Scholar
  10. 1).
    Oder wenigstens von einer Stelle ab niemals sunehmenGoogle Scholar
  11. 2).
    Dieses Kriterium hat Leibniz schon 1714 nachgewiesenGoogle Scholar
  12. 1).
    Unendliche Produkte sind fast gleichzeitig mit den unendlichen Reihen in der Literatur aufgetreten; das erste unendliche Produkt findet eich (1693) bei F. Vieta.Google Scholar
  13. 1).
    Von der Richtigkeit der Entwicklung überzeugt man sich durch die Erwägung, daß n + 1 Binome tatsächlich ein Produkt aus 2n+1 Gliedern geben. wenn, wie hier, Reduktionen ausgeschlossen sind.Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1921

Authors and Affiliations

  • Emanuel Czuber

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