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Rationale Funktionen Mehrerer Veränderlichen

  • E. Netto

Zusammenfassung

Hinsichtlich der Litteratur muss auf die beim vorigen Abschnitte aufgeführten Werke verwiesen werden; speziell für rationale Funktionen mehrerer Variablen giebt es keine Monographien.

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Litteratur

  1. 2).
    Aus der Nichtberücksichtigung dieses Umstandes folgt das Euler’sche Paradoxon. L. Euler, Berl. Mém. 1748, p. 219 schliesst z. B., dass durch 9 Punkte einer Ebene stets eine und nur eine Kurve dritter Ordnung gelegt werden könne; dies stehe dann im Widerspruch zu dem Umstande, dass zwei Kurven dritter Ordnung sich in 9 Punkten schneiden (Nr. 6). Vgl. auch G. Cramer, Analyse etc. § 48, p. 78; C. G. J. Jacobi, J. f. Math. 15 (1836), p. 285 = Werke 3, p. 329. Das Paradoxon löst sich sofort, wenn man das Verschwindet) jener Determinante aus Potenzprodukten der Koordinaten beachtet.zbMATHGoogle Scholar
  2. 5).
    Über die Zerlegbarkeit bei m = 2 vgl. S. H. Aronhold, J. f. Math. 55 (1858), p. 97zbMATHGoogle Scholar
  3. F. Brioschi, Ann. di mat. (2) 7 (1875/76), p. 189CrossRefGoogle Scholar
  4. A. Thaer, Math. Ann. 14 (1879), p. 545. Die Frage nach den Bedingungen des Zerfallens, sowie nach den Faktoren der zerfällbaren Formeln wird mit Hülfe der Theorie der symmetrischen Funktionen mehrerer Grössenreihen von Fr. Junker behandelt, Math. Ann. 45 (1894), p. 1, der an Untersuchungen von A. Brill, Gött. Nachr. Dez. 1893, p. 757 anknüpft. Das gleiche Problem behendelt P. Gordan, Math. Ann. 45 (1894), p. 410, unter Verwendung gewisser Differentialprozesse, besonsers für ternäre Formen. Vgl. weiter Brill, Math. Ann. 50 (1898), p. 157; ferner J. Hadamard, Bull, soc. math. 27 (1899), p. 54CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  5. 8).
    J. Molk, Acta math. 6 (1885), p. 1; H. Weber, Algebra 1; Netto, Algebra 2, 1.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  6. 9).
    J. J. Sylvester’s „logic of characteristics“, Cambr. Dubl. Math.J. 6 (1851), p. 186Google Scholar
  7. bewiesen von O. Hölder, Böklen math. nat Mitt, 1 (1884), p. 60Google Scholar
  8. von Weber, Netto. — Über die Reduktibilität vgl. den eingehenden Aufsatz von W. Fr. Meyer, Math. Ann. 30 (1887), p. 30, in welchem es sich um die Lösung folgenden Problems handelt: Sind f 0(λ),... f d(λ) linear unabhängige, ganze F. von λ, so sollen die Grössen u 0,... u d als gz. F. von n Variabein μ1, μ2,... μn so bestimmt werden, dass u 0 f 0 + u 1 f 1 +... + u d f d reduktibel in wird. Siehe auch W. Fr. Meyer, Münch. Ber. 1885, p. 415.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  9. 10).
    Vgl. M. Noether, Math. Ann. 6 (1872), p. 351CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  10. E. Bertini, ib. 34 (1889), p. 450MathSciNetGoogle Scholar
  11. E. Netto, Acta math. 7 (1885), p. 101CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  12. D. Hilbert, Math. Ann. 42 (1892), p. 320.MathSciNetGoogle Scholar
  13. 17).
    Vgl. C. Schmidt, Zeitschr. f. Math. 31 (1886), p. 214, wo nachgewiesen wird, dass dieser Schluss nicht ohne weiteres richtig ist, und wo eine Ergänzung desselben geliefert wird.zbMATHGoogle Scholar
  14. 28).
    J. f. Math. 81 (1841), p. 178; ibid. 31 (1846), p. 1; L. J. Magnus, Zeitschr. f. Math. 26 (1843), p. 365zbMATHGoogle Scholar
  15. E. F. A. Minding, Zeitschr. f. Math. 27 (1844), p. 379.zbMATHGoogle Scholar
  16. 46).
    Diesen Begriff hat der Sache wie dem bezeichnenden Worte nacl G. Frobenius eingeführt. Er hat seine Bedeutung bereits J. f. Math. 82 (1877), p. 290, § 3 „über lineare Gleichungen u. alternierende bilineare Formen“ ins rechte Licht gertickt. Die Bezeichnung „Rang“ ist von ihm zum ersten Male ib. 86 (1879), p. 1 benutzt: „Wenn in einer Determinante alle Unterdeterminanten (m + 1)ten Grades verschwinden, die m ten Grades aber nicht sämtlich Null sind, so nenne ich m den Rang der Determinante.“ — Kronecker hat (Berl. Ber. 1884, p. 1071, 1179) diesen von Frobenius bereits mehrfach durchgearbeiteten Begriff übernommen. Hiernach ist die Bemerkung I A 2, Nr. 24 nebst Anm. 91 richtig zu stellen. — J. J. Sylvester nennt Amer. J. of Math. 6 (1884), p. 271, Lect. 1 eine Determinante n ter Ordnung, bei der alle Subdeterminanten (n − i + 1)ter Ordnung verschwinden, aber nicht alle der (n − i)ten Ordnung, eine Determinante von der „Nullität“ (nullity) i.Google Scholar
  17. 51).
    Kronecker behandelt die linearen Kongruenzen ähnlich, J. f. Math. 99 (1886), p. 340.Google Scholar
  18. 69).
    H. Laurent, Traité d’analyse, Paris 1885, 1, p. 305.Google Scholar
  19. 73).
    Jacobi, J. f. Math. 22 (1841), p. 319 = Werke 3, p. 393.zbMATHGoogle Scholar
  20. 76).
    J. L. F. Bertrand, J. de math. 16 (1851), p. 213. [Der Satz wird von „Genocchi-Peano“, dtsch. Ausg. (s. II A 2), Anm. zu Nr. 122, p. 329 angefochten.]Google Scholar
  21. 77).
    Hesse, J. f. Math. 28 (1844), p. 68 = Werke, p. 87.zbMATHGoogle Scholar
  22. 79).
    Clebsch, J. f. Math. 69 (1868), p. 355; ibid. 70 (1869), p. 175 wird auf Grund einer Mitteilung von Gordan die Grösse M bestimmt.Google Scholar
  23. 80).
    Hesse, J. f. Math. 29 (1844), p. 68; die Engländer bezeichnen sie nach Cayley (Phil. Transact. 146 [1856], p. 627 = Coll. Pap. 2, p. 627) als Hessian. Vgl. auch J. J. Sylvester, Cambr. Dubl. M. J. 6, 1851, p. 194.Google Scholar
  24. 85).
    Von der reichhaltigen, hierher gehörigen Litteratur führen wir an: Hesse, J. f. Math. 28 (1844), p. 68 u. 97 = Werke p. 89, 123; ibid. 38 (1849), p. 257 = Werke p. 211; ibid. 40 (1850), p. 316 = Werke p. 257 (Brief an Jacobi nebst Antwort); ibid. 41 (1851), p. 272 = Werke p. 263; Clebsch, J. f. Math. 58 (1861), p. 229; Cayley, J. f. Math. 34 (1847), p. 30 = Coll. Pap. 1, p. 337; Clebsch-Lindemann, Geometrie 1, p. 176, 191, 206 u. s. w.zbMATHGoogle Scholar
  25. 90).
    A. Harnack, Math. Ann. 9 (1876), p. 371; vgl. Clebsch-Lindemann, Vorles. üb. Geom. 1, p. 826.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  26. 97).
    Berl. Ber. 1869, p. 159 u. 688; ibid. 1878, p. 145. Über die weitere analytische Ausbildung der Theorie vgl. E. Picard, J. de math. (4), 8 (1892), p. 5; Par. C. R. 113 (1891), p. 356, 669, 1012zbMATHGoogle Scholar
  27. W. Dyck, Par. C. R. 119 (1894), p. 1254; ibid. 120 (1895), p. 34; Münch. Ber. 1898, p. 203. Vgl. I B 3 a.zbMATHGoogle Scholar
  28. 102).
    D. André, Bull. soc. math. 24 (1896), p. 135.Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1898

Authors and Affiliations

  • E. Netto
    • 1
  1. 1.GiessenDeutschland

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