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Exkurs: Zur Numerischen Lösbarkeit von Endwertmodellen

  • Ulrich Blumentrath
Chapter
Part of the Schriften zur theoretischen und angewandten Betriebswirtschaftslehre book series (STABL)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel sind einige, keineswegs vollständige Überlegungen anzustellen, die sich auf die praktisch-rechnerische Optimumbestimmung bei den in der Variablen- und Restriktionenanzahl regelmäßig sehr umfangreichen Endwertmodellen beziehen. Es sind im wesentlichen die Schwierigkeiten darzustellen, welche sich bei der Anwendung der Algorithmen ganzzahliger und gemischt-ganzzahliger linearer Programmierung ergeben. Diese Schwierigkeiten werden als Grund dafür angesehen, im abschließenden Abschnitt B. die Anwendbarkeit eines von der linearen Programmierung grundsätzlich verschiedenen algorithmischen Vorgehens, nämlich der dynamischen Programmierung, für die Lösung von Endwertmodellen zu prüfen.

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Literatur

  1. 1).
    Glover, F., A Multiphase-Dual Algorithm for the Zero-One Integer Programming Problem, in: OR, Vol. 13 (1965), S. 879 ff., hier S. 880. Zu ei¬ner ähnlichen Systematik siehe Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwendungen der ganzzahli¬gen linearen Optimierung, Diplomarbeit Hamburg 1967, S. II - IV.Google Scholar
  2. 2).
    Neben den anfänglichen, unsystematischen Ver¬suchen (etwa Markowitz, H.M. und Manne, A.S., On the Solution of Discrete Programming Problems, in: Econometrica, Vol. 25 (1957), S. 84 ff.) sind hier vor allem die grundlegenden Arbeiten von Gomory zu nennen. Für den Fall, daß alle Variablen ganzzahlig sein müssen, existieren zwei Versio¬nen: Zur ersten Version (1958) siehe: Gomory, R.E., An Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs, Princeton-IBM Mathematics Research Project, Technical Report No 1, Nov. 1958, abge¬druckt in: Recent Advances in Mathematical Pro¬gramming (Hrsg. Graves, R.L. und Wolfe, P.), New York-San Francisco-Toronto-London 1963, S. 269 ff.; zur zweiten “All-Integer-Version” siehe derselbe, All-Integer Programming Algorithm, IBM Research Center Research Report RC-189, Jan. 1960; abgedruckt in: Industrial Scheduling (Hrsg. Muth, J.S. und Thompson, G.L.), New York 1963, S. 195 ff. Zu weiteren Schnitthyperebenenverfah¬ren siehe Glover, F., Multiphase-Dual Algorithm, a.a.O., S. 880.Google Scholar
  3. 3).
    Hier sind in erster Linie zu nennen: Land, A.H. und Doig, A.G., An Automatic Method of Solving Discrete Programming Problems, in: Econometrica, Vol. 28 (1960), S. 497 ff.; Thompson, G.L., The Stopped Simplex Method: I. Basic Theory for Mixed Integer Programming; Integer Programming, in: Revue Francaice de Recherche Opérationelle, 8 (1964), S. 159 ff.Google Scholar
  4. 4).
    Siehe folgende Seite.Google Scholar
  5. 4).
    Vgl. die bei Glover, F., a.a.O., angegebene Arbeit von Fortet und Camion.Google Scholar
  6. 5).
    Hier ist in erster Linie der “Additive Algorith¬mus” von Balas zu nennen: Balas, E., An Additive Algorithm for Solving Linear Programs with Zero-One Variables, in: OR, Vol. 13 (1965), S. 517 ff. Neben dem Verfahren von Balas gehört hierzu auch der bei Glover dargestellte “Multiphase-Dual¬Algorithmus. Vgl. weiter: Gilmore, P.C. und Gomory, R.E., A Linear Programming Approach to the Cutting Stock Problem - Part II, in: OR, Vol. 11 (1963), S. 863 ff.Google Scholar
  7. 1).
    Siehe S. 444 FN.4 dieser Arbeit.Google Scholar
  8. 2).
    Vgl. hierzu die Arbeiten, in denen Ergebnisse numerischer Rechenerfahrungen auf der Grundlage systematischer Zahlenbeispiele mitgeteilt wer¬den. Siehe u.a. Balinski, M.L., Integer Programming, Methods, Uses, Computations, in: MS, Vol. 12 (1965), S. 253 ff.; Haldi, J. und Isaacson, L.M., A Computer Code for Integer Solutions to Linear Programs, in: OR, Vol. 13 (1965), S. 946 ff.; Giglio, R.J. und Wagner, H.M., Approximate SolutionsChrw(133), a.a.O., S. 312; Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwendungen, a.a.O., S. 91 ff.Google Scholar
  9. 3).
    Vgl. Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwen¬dungenChrw(133), a.a.O., S. 96.Google Scholar
  10. 4).
    So weiß man z.B., daß die als LP-Aufgabe formu¬lierten Transportprobleme grundsätzlich schon bei Anwendung des einfachen Simplexalgorithmus’ stets ganzzahlige Lösungen liefern. Vgl. Land, A.H. und Doig, A.G., An Automatic MethodChrw(133), a.a.O., S. 497; Fleischmann, B., Lösungsverfah¬ren und AnwendungenChrw(133), a.a.O., S. B.Google Scholar
  11. 1).
    Vgl. Haldi, J. und Isaacson, L.M., A Computer CodeChrw(133), a.a.O., S. 948 f. Eine andere - als effizient betrachtete - Auswahlregel besagt, diejenige Zeile k heranzuziehen, in der eine Variable am weitesten von einem ganzzahligen Wert entfernt ist. Vgl. Gomory, R.E., An Algo¬rithm for Integer SolutionsChrw(133), a.a.O., S. 295; Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 275.Google Scholar
  12. 2).
    Siehe S.¢62 ff. dieser Arbeit.Google Scholar
  13. 1).
    Zur “condensed form” des Simplextableau’s siehe auch Comory, R.E., An Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs, a.a.O., S. 294.Google Scholar
  14. 1).
    Vgl. S. 78 dieser Arbeit.Google Scholar
  15. 1).
    Zu dieser hier nicht weiter beschriebenen Regel siehe Dantzig, G., Lineare Programmierung und Erweiterungen, a.a.O., S. 273 f.Google Scholar
  16. 2).
    Bei den von Künzi-Tzschach-Zehnder dargestellten Simplex-ALGOL-(und FORTRAN-)Programmen (Mathema¬tische Optimierung, a.a.O., S. 92 und S. 96 f.) wird bei Verwendung des “condensed” Tableau’s in der Degenerationsprocedure (bzw. SUBROUTINE) n ich t die notwendige Umrechnung in das “spal¬tenkonstante” Tableau berücksichtigt. Damit ist die dort programmierte Degenerationsbehandlung unwirksam, wenn in Spezialbeispielen ein Kreisen auftreten kann. Zu einem solchen Beispiel siehe etwa Hadley, G., Linear Programming, a.a.O., S. 190 ff.Google Scholar
  17. 1).
    Siehe Gomory, R.E., An Algorithm for Integer Solu¬tion to Linear P rograms, a.a.O., S. 273 f. (4) wird als Grundform bezeichnet, weil auch alle ganzzahligen Linearkombinationen von (4) für alle K (als modulo 1 durchgeführt) zu wirksamen Gomory-Restriktionen führen. Eine Linearkombi¬nation in modulo 1 bedeutet, nur den gebrochenen Teil der entsprechenden Summen heranzuziehen.Google Scholar
  18. 1).
    Vgl. z.B. Adam, D., ProduktionsplanungChrw(133), a.a.O., S. 147 ff.Google Scholar
  19. 1).
    Vgl. hierzu vor allem Haldi, J. und Isaacson, L.M., A Computer CodeChrw(133), a.a.0., S. 950 ff.Google Scholar
  20. 2).
    Zu dieser Formulierung des “Gomory-Cuts” und seiner Begründung siehe etwa Dantzig, G., Lineare Programmierung und Erweiterungen, a.a.0., S. 599; bei Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.0., S. 299 ist die Bedingung (7) mit F K 1 multipliziert.Google Scholar
  21. 1).
    Zum exakten Konvergenzbeweis siehe Gomory, R.E., An Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs, a.a.O., S. 287 ff. (“First Method of Proof”).Google Scholar
  22. 1).
    Vgl. hierzu in Subroutine GOMORY des vorliegen¬den Programmes die Behandlung der dualen Degene¬ration. Hier wird nicht ein (M+N-1)•N “zeilen¬konstantes” Tableau gespeichert, um für QM+N-1 überflüssige Transformationsoperationen zu spa¬ren. Die lexikographische Ordnung der (M+N-1)¬Spaltenvektoren wird wieder wie in “DEGEN” über den Adressvektor MAD(J) erreicht.Google Scholar
  23. 1).
    Hat A(1,1) den niedrigst möglichen Wert für eine optimale ganzzahlige Lösung erreicht, dann sind in der Regel auch schon alle anderen Variablen ganzzahlig. Vgl. Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 280 f.Google Scholar
  24. 2).
    Zum ähnlich aufgebauten Konvergenzbeweis für den gemischt-ganzzahligen Fall siehe Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 285 ff.Google Scholar
  25. 1).
    Das bei Fleischmann, B., (Lösungsverfahren und AnwendungenChrw(133), a.a.0., S. 90) angegebene Ver¬fahren zur Eliminierung von Rundungsfehlern, wie es im SHARE-Programm IPM3 benutzt wird, ist nur anwendbar, wenn durch die “Gomory-Cuts” (der 60-er Version) ein Anwachsen des Produkts aller bis zu einer Iteration vorgekomTinen Pivotelemente über eine feste Grenze (etwa 10) hinaus verhin¬dert werden kann. Diese Gomory-Cuts können aber nur im vollständig ganzzahligen Fall konstruiert werden.Google Scholar
  26. 2).
    Zu einer guten, knappen Beschreibung des “All¬Integer-Algorithmus” (1960) von Gomory siehe Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwendun¬genChrw(133), a.a.0., S. 29 ff.Google Scholar
  27. 3).
    Eine Ausnahme stellt das Verfahren von Harris, P.M. J., (An Algorithm for Solving Mixed Integer Linear Programs, in: Operational Research Quarterly, Vol. 15 (1965), S. 177 ff.) dar, das in gewisser Weise als eine Modifizierung des Gomory-“All¬Integer-Algorithmus” in Richtung auf gemischt¬ganzzahlige Probleme bezeichnet werden kann. Da aber dieses Verfahren bei den kontinuierlichen Variablen mit gebrochenzahligen Matrixelementen operiert, ist es rundungsfehleranfällig.Google Scholar
  28. 4).
    Vgl. Haldi, J. und Isaacson, L.M., A Computer CodeChrw(133), a.a.0., S. 947.Google Scholar
  29. 1).
    Balas, E., An Additive AlgorithmChrw(133), a.a.O.,S. 517 ff.Google Scholar
  30. 2).
    Vgl. Freeman, R.J., Computational Experience with a ‘Balasian’ Integer Programming Algorithm, in: OR, Vol. 14 (1966), S. 935 ff., hier S. 936.Google Scholar
  31. 3).
    Ebenda, S. 939 f.Google Scholar
  32. 4).
    Fleischmann, B., Computational Experience with the Algorithm of Balas, in: OR, Vol. 15 (1967), S. 153 ff.Google Scholar
  33. 5).
    Die Anzahl notwendiger Iterationen im additiven Algorithmus steigt nur mit der Variablen - nicht mit der Restriktionenanzahl. Mit höherer Restrik¬tionenanzahl wird gerade umgekehrt das Optimum schneller erreicht. Vgl. Balas, E., An Additive AlgorithmChrw(133), a.a.O., S. 535.Google Scholar
  34. 6).
    Als größte Anzahl von Null-Eins-Variablen gibt Fleischmann, B., Computational ExperienceChrw(133), a.a.O., S. 154 (Table I) für ein Beispiel mit 37 Restriktionen die Zahl 159 an. Vgl. auch Fleischmann, B., Lösungsverfahren und Anwendun¬genChrw(133), a.a.O., S. 95 ff.; Freeman, R.J., Compu¬tational ExperienceChrw(133), a.a.O., S. 937 ff.Google Scholar
  35. 1).
    Fleischmann, B., Lösungsverfahren und AnwendungenChrw(133), a.a.O., S. 97.Google Scholar
  36. 1).
    Die dynamische Programmierung ist nicht nur auf dynamische Entscheidungsmodelle anwendbar, in denen “der Zeitfaktor eine wesentliche Rolle” spielt. Kulhavy, E., (Operations Research, Die Stellung der Operationsforschung in der Betriebs¬wirtschaftslehre, Wiesbaden 1962, S. 61) äußert diese unzutreffende Meinung. Sie ist auch für statische Modelle, mit nur einem betrachteten Aktionszeitpunkt, etwa für Allokationsprobleme anwendbar. “Das ‘Dynamische’ dieser Methode liegt im Rechengang”. Wagner, H., Simultane Planung von Investition, Beschäftigung und Fi¬nanzierung mit Hilfe der dynamischen Program¬mierung, in: ZfB, 37. Jg. (1967), S. 709 ff., hier S. 709.Google Scholar
  37. 1).
    Zur allgemeinen Definition der “Separabilität” von Ziel-und Ergebnisfunktionen im Hinblick auf die dynamische Programmierung siehe Nemhauser, G.L., Introduction to Dynamic Programming, New York-London-Sidney 1966, S. 34 f. Die spezielle additive Form der separablen Zielfunktion wird hier aus Vereinfachungsgründen herangezogen.Google Scholar
  38. 1).
    Die Klammern [j und ) werden in (16) heran-gezogen, weil xjin und xMax nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen. Zur Definition von [a1 einer Zahl a siehe S. 458 dieser Arbeit. a ist definiert als die kleinste ganze Zahl, die gleich oder größer als a ist.Google Scholar
  39. 1).
    Für den Spezialfall, daß im LP-Problem (1) alle Elemente des Ausgangstableau’s positiv sind, ver¬lieren die Bemerkungen über die Leere der Lösungs¬räume weitgehend an Bedeutung. In jeder Stufe ist der,’UTweltvektor“.4 parametrisch im Intervall 0=,6.= k zu variieten.Google Scholar
  40. 1).
    Vgl. hierzu auch Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 433.Google Scholar
  41. 2).
    So schließt Hadley, G., Nonlinear and Dynamic Programming, a.a.O., S. 433: “So sehen wir, daß es völlig außer Frage steht, einen generellen Typ eines LP-Problems mit irgendeiner größeren Anzahl von Restriktionen mit der dynamischen Programmie¬rung zu lösen”.Google Scholar
  42. 1).
    Vgl. Bellman, R., Dynamic ProgrammingChrw(133), a.a.O., S. 81.Google Scholar
  43. 2).
    Vgl. hierzu auch Nemhauser, G.L., Introduction to Dynamic Programming, a.a.O., S. 63 f. Zur Reduktion der Dimension des Zustandsvektors durch Einführung von iterativ variierten Lagrangemulti¬plikatoren vgl. Bellman, R. und Dreyfus, S.E., Applied Dynamic Programming, Princeton 1962, S. 75 ff. Bei ganzzahligen Programmierungen ist dieses Verfahren jedoch nicht anwendbar.Google Scholar
  44. 1).
    Vgl. hierzu vor allem Wentzel, J.S., Elemente der dynamischen Programmierung, a.a.O., S. 42–103; Seelbach, H., Zur Anwendung der mathematischen Programmierung in der Investitionsrechnung, a.a.0., S. 83; Miller, D.W. und Starr, M.K., Executive Decisions and Operations Research, Englewood Cliffs 1960, S. 328–334.Google Scholar
  45. 2).
    Eine Ausnahme: stellt in dieser Hinsicht das Partial¬modell der Bestimmung optimaler Lebensdauern in einer Investitionskette dar. Vgl. hierzu etwa Bell-man, R. und Dreyfus, S.E., Applied Dynamic Pro¬gramming, a.a.O., S. 114–124.Google Scholar
  46. 1).
    Die im Horizont anfallenden Zahlungen verändern einen Systemzustand, der nur für nicht mehr im Modell betrachtete Aktionen von Einfluß ist; sie sind also - im Endwert zu bewertende - Ergeb¬nisse.Google Scholar
  47. 2).
    Miller, D.W. und Starr, M.K., Executive DecisionsChrw(133), a.a.O., S. 330. Es ist zu bemerken, daß die Zielsetzung bei Miller und Starr in der Maximimng der (ungewichteten!) Summe aller im Zeitraum 1=t=H erfolgten Ausschüttungen (D t) besteht. Ganz allgemein wäre auch die Zielfunktion KAXfut(Dt))mit bet liebiger Gestalt der Teilnutzenfunktionen ut(Dt) in dem hier darzustellenden DP-Algorithmus zu be-rücksichtigen. Hier soll jedoch nur der Endwert maximiert werden.Google Scholar
  48. 1).
    Man beachte die Strenge dieser Prämisse; sie läßt nicht die Kassenhaltung zu (außer in Periode H-1), weil diese nicht die geforderte uniforme Zahlungsreihe besitzt.Google Scholar
  49. 1).
    ) Die oberen und unteren Schranken für KIT sind problemindividuell abzuschätzen. In einigen Fällen kann KIT durchaus negativ sein.Google Scholar
  50. 1).
    Bei Miller/Starr (Executive DecisionsChrw(133), a.a.O., S. 330) wird diese Problemvereinfachung dadurch erreicht, daß - bei Ausschluß der Finanzierungs¬planung - nur der in t zu investierende Geldbe¬trag Ct Entscheidungsvariable ist, wobei ange¬nommen wird, daß eine Funktion et(Ct) existiert, die den pro-GE-Ertrag von Ct in allen Folgeperioden angibt.Google Scholar
  51. 2).
    ) Vgl. hierzu Wagner, H., Simultane PlanungChrw(133)Google Scholar
  52. 1).
    Aus einem Finanzmittelbestand KIt in einem Zeit¬punkt t folgt nämlich bei nur zwei Zeitpunkte be¬rührenden Zahlungsreihen, daß die entscheidungs¬unabägigen Zahlungen aller Folgezeitpunkte mit L (t+1=z=H) gegeben sind.Google Scholar
  53. 2).
    Insofern kann nicht die Meinung Seelbachs (Zur An¬wendung der mathematischen Programmierung in der Investitionsrechnung, a.a.O., S. 128) geteilt wer¬den: “Liquiditäts-und Rentabilitätskomponente einer jeden Finanzierungsart sind (im DP-Algorith¬mus, Anm.d.Verf.) erfaßbar”.Google Scholar
  54. 3).
    Langer, H., Die Bestimmung des optimalen Investi¬tionsprogrammsChrw(133), a.a.O., S. 60.Google Scholar
  55. 4).
    Albach, H., WirtschaftlichkeitsrechnungChrw(133), a.a.O., S. 68.Google Scholar

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 1969

Authors and Affiliations

  • Ulrich Blumentrath

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