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Maße

  • Uwe Storch
  • Hartmut Wiebe
  • Claas BeckerEmail author
Chapter
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Zusammenfassung

Es erscheint zunächst naheliegend, jeder Teilmenge des \(\mathbb{R}^{n}\) ein Volumen zuzuordnen. Dies ist jedoch nicht auf sinnvolle Weise möglich: Man kann eine Kugel vom Radius 1 im \(\mathbb{R}^{n}\) so in endlich viele Teilmengen zerlegen, dass sich aus diesen Teilstücken eine Kugel von beliebig vorgegebenem Radius ohne Löcher oder Überlappungen zusammensetzen lässt. Dabei werden die Teilmengen allein durch geeignete Drehungen und Verschiebungen in die neue Lage gebracht (Banach-Tarski-Paradoxon). Daher ordnet man nur gewissen Teilmengen ein Volumen zu, den sogenannten messbaren Mengen.

Die Begriffe der \(\sigma\)-Algebra und des Maßes werden eingeführt: Eine \(\sigma\)-Algebra enthält genau diese messbaren Mengen und ist stabil unter abzählbaren Mengenoperationen. Maße sind Volumenfunktionen, die auf einer solchen \(\sigma\)-Algebra definiert sind und abzählbar additiv sind.

Es werden einige grundlegende Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Maße bewiesen und der Begriff des Produktmaßes eingeführt.

Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020

Authors and Affiliations

  1. 1.Ruhr-Universität BochumBochumDeutschland
  2. 2.Ruhr-Universität BochumBochumDeutschland
  3. 3.Hochschule RheinMainWiesbadenDeutschland

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