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Integration im Komplexen

  • Klaus FritzscheEmail author
Chapter

Zusammenfassung

In Kapitel 2 werden komplexe Kurvenintegrale definiert. Bewiesen werden zunächst die Hauptsätze über Kurvenintegrale für beliebige und sternförmige Gebiete, sowie der Satz von Goursat. Daraus lässt sich der Cauchy’sche Integralsatz für Sterngebiete ableiten. Für einfach zusammenhängende Gebiete erhält man ihn ebenfalls, wenn man jene Gebiete „einfach zusammenhängend“ nennt, auf denen jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt. Dass diese Gebiete auch im klassischen Sinne einfach zusammenhängend sind, zeigt sich erst gegen Ende des Buches. Als stärkstes Hilfsmittel erweist sich im Folgenden die Cauchy’sche Integralformel, aus der sich eine ganze Phalanx von erstaunlichen Ergebnissen ableiten lässt (der Entwicklungssatz, der Riemann’sche Hebbarkeitssatz, der Identitätssatz, das Maximumprinzip, der Satz von Liouville und sogar der Fundamentalsatz der Algebra).

Im Anhang wird der Zusammenhang zwischen holomorphen und harmonischen Funktionen hergestellt und das Dirichlet-Problem für Kreisscheiben gelöst, sowie die Green’sche Funktion zum Laplace-Operator eingeführt. Außerdem wird das Verhalten ebener Strömungen auf dem Rand untersucht.

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Authors and Affiliations

  1. 1.Bergische Universität WuppertalWuppertalDeutschland

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