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Fonctions composées. Rôle des \({\left\| {{e^{\inf }}} \right\|_{PM}}\)

  • Jean-Pierre Kahane
Chapter
Part of the Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 2. Folge book series (MATHE2, volume 50)

Résumé

Nous avons déjá rencontré le thérème de Wiener-Lévy: si fA et si F est analytique au voisinage de f(\((\mathbb{T})\)> désigne l’ensemble des fonctions f continues sur le cercle, telles que f̂(n) = 0 pour n ∉ Λ. En d’autres termes (grâce au théorème de Féjer p. 4) CΛ(\((\mathbb{T})\), FfA. En même temps qu’il énonçait ce théorème (1934). P. Lévy observait que si fAloc (classe des fonctions localement dans A) et si ϕ est linéaire, on a f ∘ ϕ ∈ Aloc. Et il posait les deux questions suivantes:
  • - existe-t-il d’autres fonctions F, d’finies sur un intervalle I, telles que FfA chaque fois que f est dans A et prend ses valeurs dans I?

  • - existe-t-il d’autres fonctions ϕ, réelles, de variable réelle, telles que f ∘ ϕ ∈ Aloc chaque fois que fAloc [83]?

Les réponses sont négatives; elles sont dues á Katznelson (1958) [66] pour le premier problème, á Beurling et Helson (1953) [12] sous forme implicite et, sous une forme explicite mais partielle, á Leibenson (1954) [165] pour le second problème.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1970

Authors and Affiliations

  • Jean-Pierre Kahane
    • 1
  1. 1.Faculté des Sciences d’OrsayUniversité de ParisF-OrsayFrance

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