Mathematische Grundlagen

Andreas Koop; Hardy Moock

doi:10.1007/978-3-662-56141-6_2

Lineare Optimierung – eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research pp 15-31 | Cite as

Mathematische Grundlagen

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Andreas Koop
Hardy MoockEmail author

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First Online: 18 April 2018

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir einige wichtige mathematische Grundlagen, insbesondere Algorithmen zur Lösung linearer Gleichungssysteme, auf denen diverse Rechenverfahren des Operations Research basieren.

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Aufgaben

Aufgabe A.1 (Gleichungssysteme)

Zeigen Sie, dass das homogene lineare System

$$\displaystyle\mathbf{A}\mathbf{u}=\begin{bmatrix}-2&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\ \phantom{-}1&-2&\phantom{-}1\\ \phantom{-}1&\phantom{-}1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\\ u_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$$

nicht triviale Lösungen besitzt. Wie lauten die Lösungen? □

Aufgabe A.2 (Gleichungssysteme)

Lösen Sie die folgenden nicht quadratischen linearen Gleichungssysteme.

a)

$\begin{aligned}\displaystyle\phantom{-}2x_{1}-3x_{2}&\displaystyle=11\\ \displaystyle 5x_{1}-\phantom{3}x_{2}&\displaystyle=\phantom{1}8\\ \displaystyle x_{1}-5x_{2}&\displaystyle=16\end{aligned}$
b)

$\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+\phantom{2}x_{2}+2x_{3}&\displaystyle=1\\ \displaystyle-3x_{1}+2x_{2}\phantom{{}-2x_{3}}+\phantom{2}x_{4}&\displaystyle=5\\ \displaystyle 8x_{1}-2x_{2}-2x_{3}+2x_{4}&\displaystyle=0\end{aligned}$

□

Aufgabe A.3 (Gleichungssysteme)

Zeigen Sie, dass das lineare System

$$\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+\phantom{6}x_{2}-\phantom{3}x_{3}&\displaystyle=\phantom{-}2\\ \displaystyle-2x_{1}\phantom{{}+6x_{2}}+\phantom{3}x_{3}&\displaystyle=-2\\ \displaystyle 5x_{1}-\phantom{6}x_{2}+2x_{3}&\displaystyle=\phantom{-}4\\ \displaystyle 2x_{1}+6x_{2}-3x_{3}&\displaystyle=\phantom{-}5\end{aligned}$$

nicht lösbar ist. □

Aufgabe A.4 (Gleichungssystem mit Parameter)

Für welche reellen Werte des Parameters $\lambda$ besitzt das folgende homogene lineare Gleichungssystem nicht triviale Lösungen?

$$\displaystyle\left[\begin{array}[]{@{}rr@{}}-\lambda&1\\ 1&-\lambda\end{array}\right]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}$$

□

Aufgabe A.5 (Gauß-Jordan-Algorithmus)

Invertieren Sie die Matrix

$$\displaystyle\mathbf{A}=\begin{bmatrix}\phantom{-}1&-1&-1&\phantom{-}1\\ \phantom{-}1&-2&-3&\phantom{-}1\\ -2&\phantom{-}6&\phantom{-}9&\phantom{-}0\\ \phantom{-}4&-3&-2&\phantom{-}5\end{bmatrix}.$$

□

Aufgabe A.6 (Gleichungssystem mit Parameter)

Für $z\in\mathbb{R}$ seien

$$\displaystyle\mathbf{A}=\left[\begin{array}[]{@{}ccr@{}}\phantom{-}1&\phantom{-}1&-3\\ \phantom{-}0&-1&-1\\ -1&-1&z+2\end{array}\right],\qquad\mathbf{c}=\left[\begin{array}[]{@{}r@{}}z-3\\ -1\\ \phantom{-}2\end{array}\right]$$

gegeben. Bestimmen Sie alle Lösungen des Gleichungssystems $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{c}$. Für welche Werte von $z$ gibt es keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen? □

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Andreas Koop
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Hardy Moock
- 2
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1.Gustav Schäfer & CO. GmbHGevelsbergDeutschland
2.Fachbereich MaschinenbauFachhochschule SüdwestfalenIserlohnDeutschland

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