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Mathematische Epidemiemodelle

  • Anatol Rapoport
Chapter
Part of the Physica Paperback book series (PHPA)

Zusammenfassung

Eines der frühesten mathematischen Modelle der Sozialwissenschaften wurde von T.R. Malthus (1766–1834) postuliert. In seinem Modell wird angenommen, daß die Gesamtzahl der Geburten pro Zeiteinheit der Größe der Bevölkerung (Population) proportional sei. Falls die Geburtenrate die Todesrate übersteigt, so wächst die Population in diesem Modell ohne Grenzen exponentiell an. In der Wirklichkeit ist unbegrenztes Wachstum natürlich unmöglich. Um das Modell wirklichkeitsnäher zu machen, müssen einige Einschränkungen eingeführt werden, wann die Geburtenrate die Todesrate übertrifft. Wir können beispielsweise annehmen, daß dieses Übergewicht k mit der Größe der Population linear geringer wird, daß also k = a—bp gilt, wobei a und b eine Konstante sind. Dann können wir die Wachstumsrate folgendermaßen formulieren:
$$dp/dt = ap - b{p^2}$$
(3.1)

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Literatur

  1. 1).
    Eigentlich ist Richardsons Modell etwas allgemeiner als das durch die Gleichung (3.25) dargestellte. j sei der Zustand der Feindseligkeit und i der Zustand des Todseins. Die Begegnung von zwei im Zustand j befindlichen Individuen etwa auf dem Schlachtfeld trägt zur Erhöhung der Anzahl von Individuen im Zustand i (in der Statistik auch „Absorbtionszustand“ genannt) bei. Solch ein Ereignis ist in (3.25) nicht berücksichtigt. Das allgemeinste Modell von Differentialgleichungen erster Ordnung und zweiten Grades wäre ausgedrückt durch Das erste Glied auf der rechten Seite stellt spontane Übergänge von einem Zustand in einen beliebigen anderen (einschließlich des gleichen Zustands) dar, das zweite Glied durch Begegnungen verursachte Zustandsveränderungen und das dritte Glied die Inputs und die Outputs. Ein Modell mit n Zuständen würde n 3 + n 2 + n Parameter enthalten. Richardsons Modell der Kriegsstimmungen enthält 6 Zustände. Seine allgemeine Darstellung besteht daher aus 258 Parametern!Google Scholar
  2. 2).
    Der Reduktionismus ist eine Denkweise, in der versucht wird, soziale Erscheinungen auf biologische und diese wiederum auf physikalisch-chemische zurückzuführen. Dementsprechend würde ein Reduktionist versuchen, psychologische Phänomene durch den Verweis auf bestimmte Prozesse im Nervensystem des Individuums zu erklären.Google Scholar
  3. 3).
    Bis in die 60er Jahre hinein waren die Wohngegenden von Weißen und Farbigen in den großen amerikanischen Städten recht scharf getrennt. Als die Rassentrennung allmählich aufgegeben wurde, begannen die Farbigen, Wohnungen in vormals nur Weißen vorbehaltenen Stadtvierteln zu beziehen. Das Resultat davon waren nicht, wie einige gehofft hatten, vorwiegend gemischtrassige Stadtteile, sondern die Umwandlung vormals „weißer“ Wohngebiete in nunmehr „farbige“. Diese Erscheinung wurde „Umkippen“ (tipping) genannt. Schelling [1971] hat einige Simulationsmodelle aufgestellt, die diese Erscheinung zum Gegenstand haben. Ein Parameter dieser Modelle ist der „Toleranzgrad“ der einen Rasse gegenüber der anderen. Das interessante Ergebnis ist, daß Stadtteile selbst dann „umkippen“, wenn der Toleranzgrad der alten Stadtteilbevölkerung keineswegs niedrig ist, ja sogar wenn sie eine gemischtrassige Nachbarschaft bevorzugt. Das Umkippen erklärt sich damit, daß das System eine Stabilitätsgrenze besitzt, die schließlich überschritten wird. Damit besitzen die Modelle von Schelling eine große Ähnlichkeit mit denen von Rashevsky. Da diese Modelle zu komplex sind, um analytische Methoden anwenden zu können, muß auf Simulationsverfahren zurückgegriffen werden. Insbesondere sind sie im Unterschied zu den dargestellten Infektionsmodellen nicht auf der Annahme einer gleichmäßigen Vermischung der Population begründet.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980

Authors and Affiliations

  • Anatol Rapoport

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