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Zusammenfassung

Ein genügend kleines Flächenstück läßt stets längentreue Formänderungen zu. Anders ist es bei Flächen in ihrer Gesamterstreckung, wenigstens, sobald wir an unseren früheren Regularitätsvoraussetzungen festhalten. So hat schon 1838 F. Minding als Vermutung ausgesprochen1, daß die Kugelfläche als Ganzes „starr“ ist. Aber erst 1899 hat H. Liebmann diese Behauptung begründen können2. Auf die allgemeinen Sätze, die damals H. Minkowski schon gefunden, aber noch nicht veröffentlicht hatte, kommen wir später zurück. Da nach Gausz bei längentreuen Abbildungen das Krümmungsmaß erhalten bleibt, läßt sich der Satz Liebmanns so fassen:
  • Die einzige geschlossene Fläche mit Gaüszschem festem Krümmungsmaß ist die Kugel.

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Literatur

  1. 1.
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  2. 2.
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  3. 3.
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    Vgl. auch den sehr einfachen Beweis bei A. Duschek: Monatsh. f. Math. u. Phys. Bd. 36, S. 131–134. 1929.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
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  14. 1.
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  15. 1.
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  16. 1a.
    Vgl. auch A. Hurwitz: Sur quelques applications géometriques des séries de Fourier. Ann. de l’Ecole Normale (3) Bd. 19, S. 357–408. 1902.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  17. 2.
    Vgl. etwa E. Heine: Handbuch der Kugelfunktionen, 2. Aufl., Leipzig 1881.Google Scholar
  18. 1.
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  19. 1a.
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  20. 2.
    Vgl. auch das Lehrbuch von L. Bianchi: Lezioni di geometria differenziale. 3. Aufl., I, S. 153–162. 1920. Dieses Lehrbuch, das auch in einer verkürzten deutschen Übersetzung erschienen ist, ist eines der bedeutendsten neueren Werke über Differentialgeometrie. Luigi Bianchi war durch lange Jahre Professor der Mathematik an der Universität und als Nachfolger Dinis Direktor der Scuola normale in Pisa (geb. in Parma 1856, gest. 1928). Er hat die Differentialgeometrie um eine Fülle schönster Ergebnisse bereichert, in Italien eine ausgedehnte mathematische Lehrtätigkeit entfaltet und Anregung zu einer großen Zahl wissenschaftlicher Arbeiten gegeben. Er hat Lehrbücher über sehr verschiedene mathematische Gebiete verfaßt. Dieser unermüdliche Gelehrte war gegen seine Mitmenschen und insbesondere gegen seine Schüler, zu denen sich auch der Verfasser zählen darf, von solcher hilfsbereiten Liebenswürdigkeit und trotz schwerer Lebensbedingungen von so heiterer Lebensart, daß er wohl kaum einen Feind hinterlassen hat. Vgl. die Nachrufe von G. Fubini: Bolletino Unione Mat. Italiana Bd. 7, 1928 und Annali di Mat. (4) Bd. 6, S. 45–83. 1928/29.Google Scholar
  21. 1.
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  22. 1.
    E. Holmgren: Comptes Rendus Bd. 134, S. 740–743. 1902. Eine Kritik des Holmgrenschen Beweises findet sich bei L. Bieberbach, Acta Math. Bd. 48. 1926: „Hilberts Satz über Flächen konstanter Krümmung“. In dieser Arbeit ist der Nachweis dafür erbracht, daß je zwei Asymptotenlinien verschiedener Scharen auf unsrer Fläche sich schneiden.zbMATHGoogle Scholar
  23. 1.
    H. Poincaré: Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes. Am. Transactions Bd. 6, S. 237–274. 1905.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  24. 1.
    Man vgl. etwa O. Bolza: Vorlesungen über Variationsrechnung, Kap. IX, S. 419–433. Leipzig und Berlin 1909. Vgl. im folgenden § 101.Google Scholar
  25. 2.
    Man kann übrigens leicht sehen, daß v von der Wahl des Koordinatenursprungs nicht abhängt.Google Scholar
  26. 1.
    Es wäre dabei z. B. die Differenzierbarkeit der Fläche F nachzuweisen.Google Scholar
  27. 2.
    G. D. Birkhoff: Dynamical systems with two degrees of freedom. Am. Transactions Bd. 18, S. 199–300. 1917.CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  28. 2a.
    Neue Ergebnisse über geodätische Linien auf Eiflächen bei A. Speiser: Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich Bd. 56, S. 28–33. 1921.Google Scholar
  29. 1.
    G. Erdmann: Über unstetige Lösungen in der Variationsrechnung. Crelles J. Bd. 82, S. 21–30. 1877.Google Scholar
  30. 2.
    C. Carathéodory: Über die diskontinuierlichen Lösungen in der Variationsrechnung. Diss. Göttingen 1904, vgl. den Schluß S. 71.Google Scholar
  31. 1.
    Für v = konst. bekommt man hieraus die Formel § 90, Aufg. 1.Google Scholar
  32. 2.
    G. A. Bliss: Jacobis condition..., Am. Transactions Bd. 17, S. 195 bis 206. 1916.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  33. 1.
    Vgl. etwa O. Bolza: Vorlesungen über Variationsrechnung, S. 82–87. Leipzig 1909.Google Scholar
  34. 1a.
    Ein einfacher Beweis für die Bedingung Jacobis im Fall der geodätischen Linien findet sich bei G. Darboux: Surfaces III, S. 97. 1894.Google Scholar
  35. 2.
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  36. 3.
    G. Darboux: Surfaces III, S. 86–88.Google Scholar
  37. 1.
    J. C. F. Sturm: Mémoire sur les équations différentielles du second ordre. Journ. Liouville Bd. 1, S. 131. 1836.Google Scholar
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    O. Bonnet: Comptes Rendus Bd. 40, S. 1311–1313. 1855.Google Scholar
  39. 1.
    Man vgl. etwa W. Blaschke: Kreis und Kugel, S. 119. Leipzig 1916.zbMATHGoogle Scholar
  40. 1.
    Literaturangaben bei O. Bolza: Variationsrechnung, 9. Kap., S. 419.Google Scholar
  41. 1.
    D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl., §23, S. 72 u. f. Leipzig und Berlin 1909.zbMATHGoogle Scholar
  42. 2.
    Bei den Ausführungen dieses Abschnitts hat sich der Verfasser mehrfach auf mündliche Mitteilungen seines verehrten Kollegen J. Radon stützen können. Vgl. im folgenden § 104 Aufgabe 15.Google Scholar
  43. 1.
    Nach einer brieflichen Mitteilung von 1925 an den Verfasser.Google Scholar
  44. 2.
    Auf diese für die Kreise auf der Kugel gültige Konfiguration hat zuerst A. Miquel hingewiesen: Théorèmes de géométrie. Liouvilles Journal Bd. 3 (1838), S. 517.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1930

Authors and Affiliations

  • Wilhelm Blaschke
    • 1
  1. 1.Universität HamburgDeutschland

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