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Die Gravitationsgleichungen und die allgemeine Relativitätstheorie

  • Tullio Levi-Civita
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 28)

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel (Ziff. 13) haben wir gesehen, daß der Einsteinsche Maßtensor mit den Komponenten g λμ im Raumzeitlichen nur wenig von δ′ μ λ verschieden ist, wenn die vorliegenden physikalischen Verhältnisse etwa den Bewegungen der Himmelskörper, insbesondere jenen unseres Planetensystems entsprechen und man sich auf Veränderliche y0 y1, y2, y3, bezieht, von denen ohne merkbaren Fehler die erste als absolute Zeit und die übrigen als kartesische Koordinaten gedeutet werden können; der Unterschied ist mindestens von zweiter Ordnung im bereits festgelegten Sinn. Wir können dies genauer folgendermaßen formulieren:

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Literatur

  1. 1.
    Tatsächlich ergibt sich für n = 2 aus den Definitionen von K [vgl. Kap. 4, Formel (36)] und der e-Tensoren (vgl. Kap. 3, Ziff. 8) R,„au = Ke,„ e,,i,wie man unmittelbar zeigen kann, wenn man beachtet, daß das Symbol R,„a,,entweder mit + R,212 = [Ka übereinstimmt oder verschwindet. Andrerseits hat man auch wegen der Definition der e-Tensoren die Identität g„ a e,„ ea,,= —g, Schreibt man in (2) an Stelle von R „a,,,den Ausdruck K e,„ e,,,,,so ergibt sich zufolge dieser letzten Identität die Relation (5).Google Scholar
  2. 1.
    Wir erinnern daran, daß wie früher (vgl. die Fußnote auf S. 180) griechische Indizes die Zahlen 0, 1, 2, 3, lateinische die Zahlen 1, 2, 3 repräsentieren, wenn nicht ausdrücklich anders angegeben. Außerdem ist auch über alle doppelt vorkommenden lateinischen Indizes zu summieren, und zwar ohne Rücksicht auf ihre Stellung.Google Scholar
  3. 1.
    Vgl. Levi-Civita,Rend. Acc. Lincei, 1. Sem. Bd. 26, S. 458. 1917.Google Scholar
  4. 2.
    Ist in der Umgebung eines bestimmten Punktes Materie in der Dichte (i vorhanden, so folgt daraus eine Energie c 2 u,die unter normalen Verhältnissen bei weitem alle anderen eventuellen Beiträge überwiegt. Andrerseits ist der Beitrag an Energiedichte elektromagnetischen Ursprungs auch stets o 0. Deshalb scheint die Dichte auch dann, wenn keine Materie vorhanden ist, keine negativen Werte annehmen zu können.Google Scholar
  5. 1.
    Vgl. etwa Abraham-Föppl, Theorie der Elektrizität. Bd. 1, 4. Aufl., § 45. Leipzig, Teubner 1912.Google Scholar
  6. 1.
    Serini, Rend. Acc. Lincei, 1. Sem. Bd. 27, S. 235. 1918.Google Scholar
  7. 2.
    Levi-Civita, Rend. Acc. Lincei, 2. Sem. Bd. 26, S. 307–317. 1917.Google Scholar
  8. 1.
    Man kann sich dies sehr rasch klarmachen, wenn man sich die gAi in der Form h77 vorstellt, wo h ein numerischer Koeffizient ist, der die Größenordnung festlegt und die y Funktionen des Ortes und der Zeit sind, die selbst, sowie ihre ersten Ableitungen, endlich sind. In diesem Fall enthalten offenbar die linken Seiten von (41) den Faktor h. infinitesimal sind, was man auch stets erreichen kann, wie Almansi, L’ ordinaria teoria dell’ elasticità e la teoria delle deformazioni finite. Rend. Acc. Lincei, 2. Sem. Bd. 26, S. 3—S. 1917 gezeigt hat, ohne daß die z selbst infinitesimal sind.Google Scholar
  9. 1.
    Vgl. Levi-Civita,Rend. Acc. Lincei, Ser. 6, Bd. 4, S. 3–5. 1926.Google Scholar
  10. 1.
    Vgl. etwa Levi-Civita u. Amaldi, Lezioni di Meccanica Razionale. Bd. II, S. 200. Bologna: Zanichelli 1926 oder Lamb, Dynamics. 2. Aufl., Kap. 11, § 91. Cambridge: University Press 1923.Google Scholar
  11. 1.
    Vgl. Levi-Civita u. Amaldi,a. a. O. S. 212.Google Scholar
  12. 1.
    Veröffentlicht im Lick Obsevvatory Bulletin Nr. 346, 1923.Google Scholar
  13. 1.
    Vgl. Lo spostamento del perielio di Mercurio ecc, Nuovo Cimento, Bd. 14, S. 12 bis 54. 1917.Google Scholar
  14. 1.
    Eine geodätische Kugel (genauer Entfernungskugel) mit dem Mittelpunkt Oist der Ort aller Punkte, die von O festen geodätischen (d. h. auf den geodätischen Linien durch 0 gemessenen) Abstand haben.Google Scholar
  15. 1.
    Diese -Formel wurde bereits Ende 1896 auf Grund von analytischen Betrachtungen gruppentheoretischen Charakters aufgestellt; vgl. Levi-Civita,Atti della R. Acc. dei Lincei, 2. Sem. Bd. 5, S. 164–171. 1896.Google Scholar
  16. 1.
    Vgl. F. Sbrana Atti d. reale accad. dei Lincei, rendiconti, 2. Sem. Bd. 33, S. 236— 238. 1924.Google Scholar
  17. 1.
    Schwarzschild, Sitzungsber. d. preuB. Akad. d. Wiss. 1916, S. 189–196.Google Scholar
  18. 1.
    Vgl. T. Levi-Civita, Realtà fisica di alcuni spazi normali del Bianchi. Atti d. reale accad. dei Lincei, rendiconti, 1. Sem. Bd. 26, S. 519–531. 1917.1 Anschaulich klar ist das im Fall von zwei Dimensionen, wo eine Mannigfaltigkeit konstanter positiver Krümmung eine gewöhnliche Kugel ist und man die kanonische Form von dl2 mittels stereographischer Projektion der Kugel auf eine Durchmesserebene erhält (vgl. Kap. 5, Ziff. 7). Die Behauptung des Textes führt in diesem Fall auf die geometrisch unmittelbar einleuchtende Tatsache, daß jeder beliebige Punkt der Kugel als Projektionszentrum gewählt werden kann.Google Scholar
  19. 1.
    Diese Verallgemeinerung verdanken wir J. Dougall. Google Scholar
  20. 1.
    Laue, vgl. auch Sitzungsber. d. preuß. Akad. d. Wiss. 1923, S. 27–31.Google Scholar
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    Bach, Math. Zeitschr. Bd. 13, S. 134–145. 1922.CrossRefGoogle Scholar
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    Chazy, Bull. de la soc. Math. de France Bd. 52, S. 17–37. 1924.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
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  29. 10.
    Kasner, Trans. of the American Math. Society Bd. 27, S. 101–105 u. 155 bis 162. 1925. — Zu dem ganzen Fragenkomplex vgl. auch Darmois, Les equations de la gravitation einsteinienne, Mémorial des Sciences Mathematiques, Bd. XX. Paris, Gauthier-Villars, 1927.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1928

Authors and Affiliations

  • Tullio Levi-Civita
    • 1
  1. 1.Universität RomRomItalien

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