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Der Riemannsche Krümmungstensor und die Krümmung einer Mn

  • Tullio Levi-Civita
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 28)

Zusammenfassung

Mittels seiner vektoriellen Methoden zeigte Schouten 1 und unabhängig von ihm Pérès 2, welche Bedeutung die Verschiebung einer Richtung längs einer geschlossenen Kurve für die Untersuchung der geometrischen Eigenschaften einer M n hat, besonders dann, wenn es sich um Eigenschaften im kleinen, d. h. in der Umgebung irgendeines Punktes P und somit um infinitesimale geschlossene Kurven handelt. Verschiebungen längs einer solchen Kurve nennen wir kurz zyklisch. Sei e irgendeine Richtung (Einheitsvektor), die von P ausgeht, und verschieben wir sie längs einer sehr kleinen geschlossenen Kurve C so lange parallel zu sich, bis wir wieder nach P kommen; wir erhalten dann eine Richtung e′, die im allgemeinen nicht mit e zusammenfallen wird; die Änderung der (kontravarianten) Komponenten e α bei einer derartigen Verschiebung hängt von der Fläche der geschlossenen Kurve und der Stellung (d. h. von der Orientierung des Flächenelementes in der M n , auf dem C liegt und von den metrischen Eigenschaften der M n in P ab. Der Einfluß der letzteren äußert sich im Auftreten der ersten und zweiten Ableitungen der a αβ , die in gewissen charakteristischen Zusammensetzungen der Christoffelschen Symbolen und ihrer ersten Ableitungen auftreten. Diese Ausdrücke bilden einen Tensor vierter Stufe, den Riemannschen Krümmungstensor, der sich im Sonderfall einer Fläche auf einen einzigen Ausdruck reduziert, der in der Flächentheorie als Gauβsche Krümmung bekannt ist; handelt es sich um eine beliebige M n , so läßt sich der Begriff der Krümmung in geeigneter Weise mittels des Riemannschen Krümmungstensors verallgemeinern.

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Literatur

  1. 1.
    Schouten: Die direkte Analysis zur neueren Relativitettstheorie. Verh. der Ak. van Wet. te Amsterdam Teil 12, Nr. 6. 1919; vgl. Der Riccikalkül. Bd. II, S. 12–16.Google Scholar
  2. 2.
    Pérès: Le parallèlisme de M. Levi-Civita et la courbure riemannienne. Atti d. reale accad. dei Lincei, rendiconti, 1. sem. (5) Bd. 27, S. 425–428. 1919.Google Scholar
  3. 1.
    Wir beschränken uns hier darauf, das Verfahren in allgemeinen Zügen anzudeuten, ohne uns bei den Entwicklungen aufzuhalten, die notwendig wären, um die einzelnen Schritte mit voller Strenge zu rechtfertigen. Einen ausführlichen Beweis findet man in der Abhandlung Tiber Parallelverschiebung in Riemannschen Räumen von H. Tietze (Math. Zeitschrift Bd. 16, S. 308–317. 1923).Google Scholar
  4. 2.
    Bompiani: Studi negli spazi curvi. Atti del R. Ist. Veneto Bd. S0, S. 355 bis 386, 839–859 u. 1113–1145. 1921.Google Scholar
  5. 1.
    Für die Beweise vgl. etwa Bôcher, Einführung in die höhere Algebra. S. 1 78 ff. Leipzig 1910.Google Scholar
  6. 1.
    Vgl. z. B. Darboux, Theorie des surfaces (Neudruck). Bd. III, Kap. V Paris 1923, oder Blaschke, Differentialgeometrie. Bd. I, 2. Aufl., S3-SS. Berlin 1924.Google Scholar
  7. 2.
    Vgl. Leva-Civita, Sur l’écart géodésique (Math. Ann. Bd. 97, 1926).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1928

Authors and Affiliations

  • Tullio Levi-Civita
    • 1
  1. 1.Universität RomRomItalien

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