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Grundprinzipien und Definitionen

  • Jürgen JostEmail author
Chapter
Part of the essentials book series (ESSENT)

Zusammenfassung

Die Kategorientheorie ist eine allgemeine und abstrakte Theorie mathematischer Strukturen. Eine Kategorie besteht aus Objekten und Morphismen oder Pfeilen zwischen Objekten, die assoziativ miteinander verknüpft werden können. Jedes Objekt trägt zumindest den Identitätsmorphismus auf sich selbst. Morphismen, die eine Umkehrung besitzen, heißen Isomorphismen, und wenn sie ein Objekt auf sich selbst abbilden, Automorphismen. Isomorphe Objekte werden in der Kategorientheorie identifiziert, wobei diese Identifikation aber nur bis auf Automorphismen der betreffenden Objekte bestimmt ist. Jede Menge bildet eine Kategorie, deren Objekte die Elemente dieser Menge sind. Auf einer höheren Stufe gibt es aber auch die Kategorie der Mengen, der Objekte Mengen und deren Morphismen Abbildungen zwischen Mengen sind. Dieses Kapitel erläutert die grundlegenden Konzepte der Kategorientheorie an diesen Beispielen. Andere Kategorien enthalten Objekte mit einer weiteren Struktur, wie die Kategorien der Graphen, der teilgeordneten Mengen oder der Gruppen oder anderen algebraischer Strukturen. Überhaupt können die strukturellen Konzepte iteriert werden. Man kann Kategorien von Morphismen bilden, deren Objekte die Morphismen einer anderen Kategorie sind und deren Morphismen dann kommutative Diagramme von Morphismen sind. Man kann auch Kategorien bilden, deren Objekte selbst Kategorien sind und deren Morphismen strukturerhaltend sind und Funktoren heißen. Der Begriff der Teilmenge führt auf das Konzept des Topos. Wenn A eine Teilmenge einer Menge X ist, so erhält ein Element a aus X den Wahrheitswert 1, wenn es in A liegt, ansonsten den Wahrheitswert 0. Dies lässt sich auf indizierte Systeme von Mengen erweitern.

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Max-Planck-Institut für Mathematik in den NaturwissenschaftenLeipzigDeutschland

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