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Anwendungen

  • Harro Heuser
Chapter
Part of the Mathematische Leitfäden book series (MLF)

Zusammenfassung

In Nr. 3 hatten wir gesehen, daß man das Sturm-Liouvillesche Problem (3.16) unter den Voraussetzungen (3.17) und der Annahme, 0 sei kein Eigenwert, in die Gleichung
$$\left( {I - \lambda K} \right)x = 0\quad oder\;also\quad \left( {\mu I - K} \right)x = 0\quad \left( {\mu : = 1/\lambda \;} \right)$$
(33.1)
verwandeln kann, wobei der Operator K:C[a,b]→C[a,b] durch
$$\left( {Kx} \right)\left( s \right): = \int\limits_a^b {k\left( {s,t} \right)} x\left( t \right)dt\quad mit\quad k\left( {s,t} \right): = G\left( {s,t} \right)r\left( t \right)$$
(33.2)
definiert war; G bedeutet die Greensche Funktion von (3.16). Dabei hatte sich noch ergeben, daß K bezüglich des Innenproduktes
$$\left( {x|y} \right): = \int\limits_a^b {r\left( t \right)} x\left( t \right)y\left( t \right)$$
(33.3)
auf C[a,b] symmetrisch ist (man erinnere sich hier und im folgenden daran, daß r(t) auf ganz [a,b] positiv sein soll). Wir könnten nun die Eigenwerttheorie des Kapitels V auf K anwenden, wenn K auf dem mit der Innenproduktnorm
$$\left| x \right| = {\left[ {\int\limits_a^b {r\left( t \right){x^2}\left( t \right)} dt} \right]^{1/2\;}}$$
(33.4)
versehenen Vektorraum C[a,b] kompakt wäre. Dies ist in der Tat der Fall.

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Copyright information

© B. G. Teubner, Stuttgart 1986

Authors and Affiliations

  • Harro Heuser
    • 1
  1. 1.Universität KarlsruheDeutschland

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