Advertisement

Differenzierbare Faserbündel

  • R. Sulanke
  • P. Wintgen
Chapter
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 48)

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen wollen wir den Begriff eines differenzierbaren Faserbündels entwickeln. Dabei gehen wir von dem Tangentialbündel (§ I.3) einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit aus. Auf dem Tangentialbündel wurde eine differenzierbare Struktur definiert, bezüglich der die Projektion p: T ( X n )X n für X n G k von der Klasse C k-1 ist. Wir setzen also verallgemeinernd voraus:

I. Es seien E N , X n ∈ EC k und pC k ( E N , X n ) gegeben; E N heiße der Bündelraum, X n die Basis und p die Projektion des Faserbündels.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Zu Kapitel II

§1

  1. [1]
    In der Literatur, vgl. etwa S. Kobayashi, K. Nomizu [1], ist es üblich, die Wirkung von G über H als rechts-Transformationsgruppe zu definieren, indem man in (33) statt R a -1 die Abbildung R a nimmt. Die hier gegebene Definition gestattet es, die Hauptfaserbündel H ( X,G ) und die Transformationsgruppen [ G,F ] der zu H assoziierten Bündel (§2) beide als links-Transformationsgruppen, d. h. als Objekte derselben Kategorie TR(G), zu betrachten. Dadurch wird es möglich, Zusammenhangsformen (§ 7) und Tensorformen auf H (§ 9) als G-Invarianten zu definieren.Google Scholar

§2

  1. [1]
    Die Bündelinvarianten und die in § 3 definierten, allgemeineren Bündelmorphismen umfassen nicht alle in der Differentialgeometrie auftretenden Abbildungen zwischen Faserbündeln. Zum Beispiel ist das in § 1.3 definierte Differential df: T ( Y )T(X) eine die Fasern erhaltende Abbildung, die weder eine Bündelinvariante noch ein Bündelmorphis-mus ist. Das Differential ist jedoch ein Vektorbündelmorphismus. Die Beispiele 3 und 4 lassen sich verallgemeinern, wenn man sich auf die Kategorie der Vektorraumbündel beschränkt, vgl. hierzu S. Lang [1], Kap. III. Wenn man nur endlichdimensionale Vektorräume als Fasertypen zuläßt, kann man diese Begriffe folgendermaßen erhalten. Es sei VB k die Klasse der Vektorraumbündel E(X,V ) ∈ C k. Als Vektorbündelmorphismen bezeichnet man Paare von Abbildungen der Klasse C k, (f, f) : ( E, X )(E’ X’), für die das Diagramm @kommutativ ist und für die \( f\left| {{p^{ - 1}}\left( x \right):{V_x} \to {{V'}_{\overline f \left( x \right)}}} \right. \) linear ist für alle x ∈ X . Mit VB k ( X ) bezeichnen wir die Unterkategorie der Vektorraumbündel über X, für deren Morphismen f̄ = idx gilt. Jedem Funktor in der Kategorie der Vektorräume über R (analog über C) entspricht ein Funktor der Kategorie VB k ( X ). Wir beschränken uns auf die Beschreibung der Whitneyschen Summe und des Tensorproduktes. Es seien E ( V ), E (V′) ∈VB k ( X ); G GL(V), G GL ( V ′) die zugehörigen Strukturgruppen. Durch \( bzw.\;\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {g,g'} \right) \in G \times G',\;t + t' \in V \oplus V' \to \left( {g,g'} \right)\;\left( {t + t'} \right) = gt + g't' \in V \oplus V'} \\{B \in V \otimes V' \to g \otimes g'B \in V \otimes V'} \\\end{array} \) wirkt G × G über VV bzw. V V. Wir können, indem wir zu den Durchschnitten übergehen, annehmen, daß die Bündelatlanten von E und E dieselbe Überdeckung {U t }∈I auf X bestimmen. Sind dann g ϰi (x) bzw. g’ ϰi (x), x e U ϰ ∩ U i, die zu E bzw. E gehörenden Übergangsfunktionen, so erfüllen die Paare (g ϰi , g’ ϰi ) : U x ∩ U i G × G die Bedingungen von Satz 1 ; wir erhalten also Bündel EE ’ ( VV ’) bzw. E E ’ ( V V ’) aus VB k ( X ), die man entsprechend die Whitney sehe Summe bzw. das Tensor produkt der Bündel E, E nennt. Man beweist leicht, daß man diese Bündel als disjunkte Vereinigungen folgendermaßen darstellen kann: \( E \oplus E' = \mathop { \cup {V_x} \oplus {{V'}_x}}\limits_{x \in X} ,\;E \otimes E' = \mathop { \cup {V_x} \otimes {{V'}_x}}\limits_{x = X} \) Den Vektorbündelmorphismen \(f:E \to {E_1},f':E' \to {E'_1}\) der Kategorie VB k ( X ) werden dann entsprechende Morphismen f ⊗ f bzw. f ⊗ f derselben Kategorie durch \( {\left( {f \oplus f'} \right)_x} = {f_x} \oplus {f'_x},\;{\left( {f \otimes f'} \right)_x} = {f_x} \otimes {f'_x} \) zugeordnet. Ist G = G und sind E, E assoziierte Bündel, so kann man g ϰi (x) = g’ ϰi (x) amiehmen und erhält auf diese Weise durch E E ’, E E wiederum zu demselben Hauptfaserbündel assoziierte Bündel. Hierdurch läßt sich die zu H ( X, G ) gehörige Tensoralgebra über X im Sinne von Beispiel 4 definieren. Die Whitneysche Summe und das Tensorprodukt von Vektorraumbündeln finden wichtige Anwendungen in der Topo-logie, vor allem in der K-Theorie, vgl. M. F. Atiyah [1], R. S. Palais [1].Google Scholar

§3

  1. [1]
    Eine leichte Verallgemeinerung der Bündelinvarianten und Bündelmorphismen findet man in R. Sulanke [1].Google Scholar

§5

  1. [1]
    Weiteres Material über Pfaffsche Systeme und ihre Verallgemeinerungen ist enthalten in M. Kuranishi [1], P. K. Raschewski [2], S. P. Finikow [3], W. Slebodzinski [1] und J. A. Schouten, W. v. d. Kulk [1],Google Scholar

§6

  1. [1]
    Ausführlicher kann man die q-Formen auf X n mit Werten in V N folgendermaßen beschreiben : Eine Nullform über X n ist ein Schnitt s des trivialen Bündels X n × V N X n, d. h. eine Funktion auf X n mit Werten in V N; somit gilt. Für beliebiges q ist \( \begin{array}{l}\left( {{t_1},...,{t_q}} \right) \in \times {R^n}, \\\prod \in { \wedge ^q}{R^{n*}} \otimes {V^N} \to \prod \left( {{t_1},...,{t_q}} \right) = {v_I}{\prod ^I}\left( {{t_1},...,{t_q}} \right) \in {V^N} \\\end{array} \) eine GL (n, R )-Invariante ( GL (n, R ) wirkt trivial über V N und wie üblich über R n ). Es sei E das zu P( X n ) assoziierte Bündel mit der Transformationsgruppe \(\left[ {GL\left( {n,R} \right),{ \wedge ^q}{R^{n*}} \otimes {V^N}} \right]\) und den Fasern E x , xX. Dann ordnet die zugehörige Bündelinvariante dem q-Tupel s 1,...,s qT x (X n) und den Elementen Ω ∈ E x die Werte (x, Ω(s1,..., sq)) ∊ X N zu. Hieraus resultiert die Darstellung (5).Google Scholar
  2. [2]
    Außer bei S. Helgason [1] findet man auch in R. S. Palais [2] interessante Ergebnisse über Transformationsgruppen. Über Anwendungen der algebraischen Topologie auf Transformationsgruppen siehe A. Borel [1], K. Jänich [1], P. S. Mostert [1].Google Scholar

§8

  1. [1]
    Einen l-invarianten flachen linearen Zusammenhang erhält man durch die Festsetzung, daß für jedes X ∈ g das l-invariante Feld X( g ) absolut parallel sein soll. Dieser und andere lineare Zusammenhänge auf Lieschen Gruppen wurden durch E. Cartan und J. A. Schouten untersucht, vgl. J. A. Schouten [1], Kap. IV, und S. Helgason [1], Kap. II, 1.3.Google Scholar

§11

  1. [1]
    Mit Hilfe der Bogenlänge wird der Abstand zwischen zwei Punkten als untere Grenze der Längen aller Verbindungskurven definiert: Die Riemannsche Mannigfaltigkeit wird ein Baum mit innerer Metrik (vgl. W. Rinow [1]). Die Geodätischen des Riemannschen Zusammenhangs sind gleichzeitig die Lösungen der Eulerschen Differentialgleichungen für das durch die Frage nach dem Minimum der Bogenlänge entstehende Variationsproblem. Genügend kleine Stücke von Geodätischen sind kürzeste Verbindungskurven ihrer Endpunkte. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist genau dann vollständig, wenn die zugehörige innere Metrik vollständig ist, d. h., wenn jede Cauchy-Folge im Sinne dieser Metrik konvergiert (Satz von H. Hopf und W. Rinow [1]). Eine ausführliche Darstellung dieser und anderer fundamentaler Tatsachen der Riemannschen Geometrie findet man z. B. in S. Kobayashi, K. Nomizu [1], [2], siehe auch D. Gromoll, W. Klingenberg, W. Meyer [1] und A. W. Pogorelow [1].Google Scholar
  2. [2]
    Diese Folgerung ist ein Spezialfall der Lösung des (lokalen) Äquivalenzproblems für G -Strukturen: Es seien H(X,G), H 1 (X 1 , G) zwei G-Strükturen, xX n, (Math). Welche Bedingungen sind notwendig und hinreichend dafür, daß Umgebungen UX , U 1 X 1 von x bzw. x und eine Diffeomorphie h: U →U 1 existieren, so daß für die zugehörige Bündelisomorphie der Reperbündel s 1 ,...,s q ∊ Tx (X n) die Beziehung (x, Ω (s1,..., sq)) ∊ X n x V Ngilt? Eine Diskussion des Äiquivalenzproblems findet man in S. Sternberg [1]. Weitere Literatur über G-Strukturen siehe S. S. Chern [9], D. Bernard [1].Google Scholar

§13

  1. [1]
    Zur Untersuchung der invarianten linearen Zusammenhänge siehe auch E. B. Vinberg [1], A. Lichnerowicz [3].Google Scholar
  2. [2]
    Die Graßmann-Mannigfaltigkeiten sind sogar symmetrische Riemannsche Räume. Jeder symmetrische Riemannsche Raum ist reduktiv (vgl. K. Nomizu [2]). Zu den symmetrischen Riemannschen Räumen verweisen wir auf die ausführliche Darstellung S. Helgason [1], dort viele Quellenangaben.Google Scholar

§14

  1. [1]
    Eine umfassende Darstellung der Differentialgeometrie der Untermannigfaltigkeiten Kleinscher Räume, oder allgemeiner von Mannigfaltigkeiten, auf denen eine G-Struktur definiert ist, würde den Umfang dieser Monographie auf mindestens das Doppelte erweitern. Wir wollen uns daher mit einigen, keineswegs vollständigen Literaturhinweisen begnügen. Ein allgemeines Verfahren für die Entwicklung der Differentialgeometrie der Untermarmigfaltigkeiten wurde von E. Cartan [2] durch die Methode des „repère mobile” gegeben, vgl. auch J. Favard [1]. Diese Methode wurde von G. F. Laptjew [1] wiederaufgenommen und verallgemeinert; auf diese Arbeit stützen sich die Untersuchungen vieler sowjetischer Geometer, vgl. etwa Trudy geometritscheskogo seminara I, Moskau 1966, II, Moskau 1969. Diese allgemeine Methode des repère mobile hat jedoch noch nicht ihre endgültige, den Anforderungen moderner Strenge genügende Form gefunden, vgl. hierzu A. Svec [1], R. Hermann [2]. Eine andere Methode zur Gewinnung vollständiger Invariantensysteme für in Kleinsche Räume eingebettete Untermannigfaltigkeiten wurde von A. E. Liber [1] angegeben; sie verwendet die Theorie der Differentialinvarianten Liescher Gruppen in der ihr von N. G. Tschebotaröw [1] und V. V. Wagner [1] gegebenen Gestalt. Wir beschränken uns hier auf die Darstellung einiger Resultate der Differentialgeometrie normalisierter Untermannigfaltigkeiten von Räumen mit linearem Zusammenhang, wie sie insbesondere von J. A. Schouten [1], A. P. Norden [1], W. Blaschke [3] u. a. angewandt wurde. Unsere Darstellung ist eine naheliegende Verallgemeinerung der Differentialgeometrie von Untermannigfaltigkeiten eines Riemannschen Raumes, vgl. S. Kobayashi, K. Nomizu [2]. Neuere globale Untersuchungen über Untermannigfaltigkeiten findet man in E. Feldman [1], [2].Google Scholar
  2. [2]
    Vgl. etwa W. Blaschke [2], [3], [4], P. A. Schirokow, A. P. Schirokow [1], L. K. Tutajew [1], J. Favard [1], G. Bol [1], S. P. Finikow [1], [2], N. I. Kowanzow [1], P. I. Schweikin [1], L. Wagner [1].Google Scholar
  3. [3]
    Einen globalen Fundamentalsatz für einfach zusammenhängende, zusammenhängende Y n-1 ⊂- E n findet man in S. Kobayashi, K. Nomizu [2], Kap. VII.7.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1972

Authors and Affiliations

  • R. Sulanke
    • 1
  • P. Wintgen
    • 1
  1. 1.Humboldt-Universität zu BerlinDeutschland

Personalised recommendations