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Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

  • R. Sulanke
  • P. Wintgen
Chapter
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 48)

Zusammenfassung

In der Differentialgeometrie werden die Methoden der Analysis zur Behandlung geometrischer Probleme verwendet. Die zu untersuchenden geometrischen Ge¬bilde, wie z. B. Kurven, Flächen, Phasenräume der Mechanik, Strahlensysteme der Optik, sind stets kontinuierliche Scharen von elementaren Objekten, hier von Punkten, Zuständen oder Geraden. Diese Objekte hängen von endlich vielen reellen oder auch komplexen Zahlen ab, die man ihre Koordinaten nennt. Hier¬durch erst wird es möglich, die Begriffe der Analysis auf die geometrischen Gebilde zu übertragen. Die präzise Formulierung der grundlegenden Eigenschaften der „kontinuierlichen Scharen” wird uns auf den Grundbegriff der Differential¬geometrie, nämlich den der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, führen, der die oben erwähnten geometrischen Gebilde und viele andere umfaßt.

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Zu Kapitel I

§1

  1. [1]
    Setzt man zur Abkürzung V = U xU λ ∩ V, so müßte (7) unter Berücksichtigung der Einschränkungen folgendermaßen geschrieben werden: \(\varphi {\lambda _l}\left| {{\varphi _l}\left( V \right) = {\varphi _{\lambda \chi }}\left| {{\varphi _\chi }\left( V \right)O{\varphi _{\chi l}}\left| {{\varphi _l}\left( V \right)} \right.} \right.} \right. \) Analog sind auch die sonst benutzten Verknüpfungen lokal definierter Abbildungen zu verstehen. Man verfahre nach der folgenden Regel: Die hingeschriebenen Beziehungen für die Verknüpfungen sollen für die Teilbereiche der Definitionsbereiche der Faktoren gelten, für die die Verknüpfungen definiert sind.Google Scholar
  2. [2]
    Ein topologischer Raum X heißt ein T 1 -Raum, wenn es zu je zwei Punkten x,y ∈ X, xy, Umgebungen U, V gibt mit xU 9 yU und y ∊ V, xV. X heißt haus-dorffsch, wenn für x, yX, xy, Umgebungen U, V existieren mit x e U, y ∊ V und U n V = ∅. X heißt regulär, wenn zu jeder abgeschlossenen Menge F ⊂ X und jedem x ∊ X\F offene Mengen G 1 , G 2 existieren mit FG 1 , x e G 2 und G x ∩ G 2 = Ø.Google Scholar

§3

  1. [1]
    Häufig versteht man unter einer „Kurve” in der klassischen Differentialgeometrie einen anderen Begriff, den wir in Beispiel 5.1 unter der Bezeichnung „reguläre Kurve” einge-führt haben.Google Scholar

§4

  1. [1]
    Ein Beweis dieses Satzes, der tieferliegende topologische Hilfsmittel verwendet, ist in der Dissertation von J. Eichhorn [1] enthalten.Google Scholar

§6

  1. [1]
    Zur Geschichte der Lösung des 5. Hilbertschen Problems vgl. auch E. G. Sklarenko [1]; dort findet man weitere Literaturangaben.Google Scholar
  2. [2]
    Vgl- Anmerkung 1.1. Nach N. Bourbaki [4], 1.9.7, ist jeder lokal-kompakte Raum regu¬lär. Folglich ist jede hausdorffsche Mannigfaltigkeit regulär. Im Anhang 3 wird gezeigt, daß jede Liesche Gruppe parakompakt ist. Nach J. L. Kelley [1], Kap. V, 32, ist jeder parakompakte topologische Raum sogar normal, d. h., zu je zwei abgeschlossenen Mengen G 1 , G 2 mit G 1 ∩ G 2 = Ø existieren offene Mengen G 1 , G 2 mit G 1 ∩ G 2 = Ø, F 1 ⊂G 1 ,F 2 ⊂G 2 . Google Scholar
  3. [3]
    Weitere Lehrbücher bzw. Monographien über Liesehe Gruppen sind: C. Chevalley [1], G. Hochschild [1], S. Helgason [1], J. Tits [1], J.-P. Serre [1], Ph. Tondeur [1], N. Bourbaki [1], P. M. Cohn [1]. Speziellere Gegenstände, die im folgenden nicht benötigt werden, findet man in den Bänden II, III, die C. Chevalley [1] fortsetzen.Google Scholar

§7

  1. [1]
    Zu dieser Übungsaufgabe vgl. P. K. Raschewski [1].Google Scholar

§8

  1. [1]
    Eine differenzierbare Struktur auf E n,1, für die [A (n),fn,1 ] eine analytische Transformati¬onsgruppe ist, kann man folgendermaßen beschreiben : Im affinen Punktraum A n wählen wir ein festes kartesisches Koordinatensystem. Zu U i ⊂ E n,1 mögen alle die Geraden gehören, die zur Koordinatenhyperebene x l = 0 nicht parallel sind. Indem wir jeder Geraden hU i ihre Schnittpunkte a 1 , a 2 mit den Hyperebenen x i = 0 bzw. x i = 1 zuordnen, erhalten wir eine bijektive Abbildung φ i: U i R2(n-1). Wenn wir diese n Abbildungen φ 1 , .,φ n als Diffeomorphien betrachten, erhalten wir einen analytischen Atlas auf E n,1, dim E n,1 = 2(n — 1). Eine allgemeine Beschreibung der differenzierbaren Struktur vieler Kleinscher Räume wird durch die Konstruktion der Faktorräume in § 11 gegeben; zu der Frage, wann man einen Kleinschen Raum als Faktorraum auffassen kann, vgl. Satz II.6.7.Google Scholar
  2. [2]
    Allgemein läßt sich eine Transformationsgruppe [G r , X n ] auf jedes Bündel geometrischer Objekte über X n fortsetzen; zu den geometrischen Objekten vgl. K. Yano [2] und N. H. Kuiper, K. Yano [1].Google Scholar

§10

  1. [1]
    Wir behandeln in den §§ 1.10–12, II.6 nur das grundlegende Material über Liesche Alge¬bren und Liesche Gruppen, das in der Differentialgeometrie häufig angewandt wird. Für weiterführende Literatur vgl. Anmerkung 6.1; speziell über Lie-Algebren erwähnen wir noch N. Jacobson [1] und Séminaire „Sophus Lie” [1].Google Scholar

§11

  1. [1]
    Es sei X eine Menge, auf der zwei Topologien gegeben sind. Bezeichnen G1 bzw. G2 die Systeme der diese Topologien definierenden offenen Mengen, so heißt die erste Topologie feiner als die zweite, wenn G1 ⊃ G2 gilt (G 1 feiner als G2 oder G2 gröber als G1).Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1972

Authors and Affiliations

  • R. Sulanke
    • 1
  • P. Wintgen
    • 1
  1. 1.Humboldt-Universität zu BerlinDeutschland

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