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Zwei Beweise eines von Herrn Fatou vermuteten Satzes

  • Adolf Hurwitz
Chapter

Zusammenfassung

Herr Fatou1) vermutete, dass sich der Konvergenzkreis für eine beliebige Potenzreihe zur natürlichen Grenze machen lässt, bloss durch geeignete Änderung der Vorzeichen der Koeffizienten. Genauer gesagt handelt es sich um folgenden Satz:
Es sei der Einheitskreis der wahre Konvergenzkreis der Potenzreihe
$${a_0} + {a_1}x + \cdots + {a_n}{x^n} + \cdots ;$$
dann lässt sich eine unendliche Folge
$${\varepsilon _0},{\varepsilon _1},{\varepsilon _2}, \ldots ,{\varepsilon _n}, \ldots ,$$
wo die εn nur der beiden Werte +1 und —1 fähig sind, derart bestimmen, dass die Reihe
$${\varepsilon _0}{a_0} + {\varepsilon _1}{a_1}x + {\varepsilon _2}{a_2}{x^2} + \cdots + {\varepsilon _n}{a_n}{x^n} + \cdots $$
den Einheitskreis zur natürlichen Grenze hat.

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Referenzen

  1. 1).
    Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta Mathematica, Bd. 30 (1906), S. 335–400 (vgl. S. 400).Google Scholar
  2. 1).
    Sur les points singuliers d’une fonction donnée par son développement en série et l’impossibilité du prolongement analytique dans des cas très généraux, Annales scient, de l’Ecole Normale supérieure, 3me série, vol. 13 (1896), p. 367–399 und Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers, Acta Mathematica, Bd. 22 (1899), S. 65–87.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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