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Über die imaginären Nullstellen der hypergeometrischen Funktion

  • Adolf Hurwitz
Chapter

Zusammenfassung

Wenn man die Gauss’sche Reihe
$$F(l,m,n,x) = 1 + \frac{{l \cdot m}}{{1 \cdot n}}x + \frac{{l(l + 1) \cdot m(m + 1)}}{{1 \cdot 2 \cdot n(n + 1)}}{x^2} + ...$$
(1)
über ihren Konvergenzkreis hinaus analytisch fortsetzt, so erhält man bekanntlich eine in der ganzen Ebene der komplexen Veränderlichen x reguläre analytische Funktion, falls man nur diejenigen reellen Werte der Veränderlichen ausschliesst, die der Bedingung x ≧ 1 genügen. Diese Funktion will ich hier als „hypergeometrische Funktion mit den Parametern l, m, n“ bezeichnen. Für den Fall reeller Parameter hat Herr Klein1) gezeigt, wie man die Anzahl der reellen Nullstellen der hypergeometrischen Funktion aus den Werten der Parameter berechnen kann. Ich habe nun neuerdings gefunden, dass man auch die Anzahl ihrer imaginären Nullstellen in verhältnismässig einfacher Weise bestimmen kann. In den folgenden Zeilen möchte ich die Resultate, welche ich in dieser Hinsicht erhalten habe, mitteilen.

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Referenzen

  1. 1).
    Über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe, Mathem. Annalen, Bd. 37 (1890), S. 573–590. [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 550–567.] Vgl. auch meine unter gleichem Titel erschienene Arbeit in Bd. 38 der Mathem. Annalen (1891), S. 452–458 [Diese Werke, Bd. I, S. 314–320], sowie L. Gegenbauer, Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe, Sitzungsber. der k. Akademie zu Wien, Bd. 100 (1891), S. 225–244 und Über die Wurzeln der hypergeometrischen Reihe, Monatshefte f. Mathematik, Bd. 2 (1891), S. 125–130.Google Scholar
  2. 1).
    [[Vgl. Mathem. Annalen, Bd. 64 (1907), S. 517–560; diese Werke, Bd. I, S. 660–705.]]Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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