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Über die Anwendung der elliptischen Modulfunktionen auf einen Satz der allgemeinen Funktionentheorie

  • Adolf Hurwitz
Chapter

Zusammenfassung

Der Satz von E. Picard1), nach welchem eine beständig konvergierende Reihe sich notwendig auf ihr konstantes Glied reduziert, wenn sie zwei endliche Werte nicht annimmt, hat durch Herrn E. Landau2) neuerdings eine sehr bemerkenswerte Verallgemeinerung erfahren. Herr Landau beweist nämlich folgenden Satz:
„Wenn die Potenzreihe
$$P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ...({a_1} \ne 0)$$
in dem Kreise | x | < r konvergiert und in diesem Kreise weder den Wert 0 noch den Wert 1 annimmt, so liegt r unterhalb einer gewissen endlichen positiven Grösse λ, die in eindeutiger Weise von den beiden ersten Koeffizienten a 0 und a 1 der Potenzreihe P(x) abhängt.“

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Referenzen

  1. 1).
    Mémoire sur les fonctions entières, Annales de l’Ecole Normale Supérieure, série 2, t. 9 (1880), p. 145–166.Google Scholar
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    ) Über eine Verallgemeinerung des Picard’schen Satzes, Sitzungsberichte der kgl. preussischen Akademie der Wissenschaften 1904, S. 1118–1133.Google Scholar
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    ) Einfache Beweise dieser Sätze finden sich in meiner Arbeit: „Über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen“, Mathem. Annalen, Bd. 58 (1904), S. 343–360 [Diese Werke, Bd. I, S. 577–595].Google Scholar
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  5. 1.
    ) Durch eine nähere Untersuchung des imaginären Teiles der Reihe (10) lassen sich noch Verschärfungen der Ungleichungen (14) und (15) erzielen. So ergibt sich z.B., dass der in diesen Ungleichungen auftretende Zahlenfaktor 22 auch durch den kleinern Faktor 16 ersetzt werden darf.Google Scholar
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    Vgl. meine Abhandlung: „Über die Entwicklungskoeffizienten der lemniskatischen Funktionen“, Mathem. Annalen, Bd. 51 (1899), S. 196–226. [Diese Werke, Bd. II, LXVII.]Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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