Advertisement

Einige Eigenschaften der Dirichlet’schen Funktionen \(F(s) = \sum {\left( {\frac{D}{n}} \right) \cdot \frac{1}{{{n^s}}}} \), die bei der Bestimmung der Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen auftreten

  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Im Jahre 1849 hat Herr Schlömilch folgende interessante Bemerkung gemacht1):
„Bezeichnet man durch f(s) die Funktion
$$\frac{1}{{{1^s}}} - \frac{1}{{{3^s}}} + \frac{1}{{{5^s}}} - \frac{1}{{{7^s}}} + - ... + {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^s}}}...,$$
so besteht zwischen den Werten f(s) und f(1-s) die Relation
$$f\left( {1 - s} \right) = {\left( {\frac{2}{\pi }} \right)^s} \cdot \sin \left( {\frac{{s\pi }}{2}} \right) \cdot \Gamma \left( s \right) \cdot f\left( s \right),$$
(A))
wobei Γ(s) die (Euler’sche) Gammafunktion bezeichnet.“

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Referenzen

  1. 1).
    Grunert’s Archiv der Math. u. Physik, Ser. I, Bd. 12 (1849) S. 415.Google Scholar
  2. 2).
    Zeitschrift für Math. u. Physik, Bd. 3 (1858) S. 130–132.Google Scholar
  3. 1).
    Ges. Werke, 2. Auflage, S. 145–153, oder auch in den Monatsberichten der Berliner Akademie, November 1859.Google Scholar
  4. 1).
    Man wertet es bekanntlich aus, indem man den Integrationsweg auf einen kleinen Kreis um den Nullpunkt zusammenzieht.Google Scholar
  5. 1).
    Lejeune-Dirichlet, Zahlentheorie, herausgegeben von Dedekind, Verlag Vieweg und Sohn, Braunschweig, S. 299 der 2. Auflage.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

There are no affiliations available

Personalised recommendations