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Über die Anwendung eines funktionentheoretischen Prinzipes auf gewisse bestimmte Integrale

  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Wenn die Funktion f(x) in jedem endlichen Intervalle der positiven Zahlenaxe integrierbar ist und für unendlich grosse positive Werte von x stärker Null wird als jede endliche Potenz von \(\tfrac{1}{x}\), so stellt das Integral
$$J(x) = \int_0^\infty {f(x){x^{8 - 1}}dx} $$
eine holomorphe Funktion der komplexen Variablen s vor in demjenigen Bereiche der s-Ebene, in welchem der reelle Teil von s positiv ist1). Macht man die weitere Voraussetzung, dass f(x) in der Umgebung von x = 0 in eine gewöhnliche Potenzreihe entwickelbar ist, so ergibt sich durch bekannte Methoden2), dass dann das Integral J(s) einen Zweig einer in der ganzen Ebene eindeutigen analytischen Funktion darstellt, die nur für s = 0 und für negative ganzzahlige Werte von s unstetig von der ersten Ordnung werden kann. (Des Näheren bleibt die Funktion an der Stelle s = - n stetig nach Subtraktion von \(\tfrac{{{c_n}}}{{s + n}}\), wo c n den Koeffizienten von x n in der Entwicklung von f(x) bezeichnet.)

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Referenzen

  1. 2).
    Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Werke, 2. Auflage, S. 145–153. — Hermite, Sur l’intégrale Eulérienne de seconde espèce, Crelles Journal, Bd. 90 (1881), S. 332–338. [Oeuvres, vol. IV, p. 76–84.]Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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