Advertisement

Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich

  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Die vorliegende Abhandlung habe ich in drei Abschnitte eingeteilt, über deren Inhalt ich hier einen kurzen Überblick vorausschicke.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Referenzen

  1. 1).
    Diese Stellen spielen auch in den älteren Beweisen des Satzes eine Rolle. Eine Zusammenstellung der sich auf den Satz beziehenden Literatur habe ich in Nr. 3 meiner Note: „Über diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen“, gegeben. Mathematische Annalen, Bd. 32 (1888), S. 290–308, oder Göttinger Nachrichten aus dem Jahre 1887, S. 85–107. [Diese Werke, Bd. I, S. 241–259.]Google Scholar
  2. 1).
    Vergleiche die unten folgenden Zitate.Google Scholar
  3. 1).
    „Über die Klassenzahlrelationen und Modularkorrespondenzen primzahliger Stufe“, Berichte der k. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Bd. 37 (1885), S. 222–240. [Diese Werke, Bd. II, XLVII.]Google Scholar
  4. 1).
    [[Vgl. zum Sprachgebrauch die Anmerkung des Herausgebers auf S. 171 dieses Bandes. Anm. v. H. W.]]Google Scholar
  5. 1).
    Ich übergehe hier den Beweis, welcher übrigens leicht geführt wird durch Aufstellung aller jener Funktionen vermöge der Integrale 2. Gattung, welche bei P unstetig werden. Man vergleiche wegen des Satzes auch die Abhandlung Noethers: „Beweis und Erweiterung eines algebraisch-funktionentheoretischen Satzes des Herrn Weierstrass“, Crelles Journal, Bd. 97 (1884), S. 224–229.Google Scholar
  6. 2).
    Das Gleiche folgt auch schon aus der zweiten oben angegebenen Eigenschaft der Determinante Δ u.Google Scholar
  7. 1).
    Da (r i+a) +(r k+a)=(r i+rk+a) + a eine auftretende Ordnung ist, so ist notwendig r i+kr i + r k + a, wo die Indices (mod a) zu reduzieren sind. Diese Ungleichungen kommen jedoch nicht weiter in Betracht. Wegen der Aufstellung der fehlenden Ordnungen vergl. man übrigens Schottky: „Über die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen“, Crelles Journal, Bd. 83 (1877), S. 308, 318, 319.Google Scholar
  8. 1).
    Vergl. Weber, Über gewisse in der Theorie der Abel’schen Funktionen auftretende Ausnahmefälle, Mathem. Annalen, Bd. 13 (1878), S. 35–48, und Noether, Über die invariante Darstellung algebraischer Funktionen, Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 263–284.Google Scholar
  9. 1).
    Vergl. F. Klein, Neue Beiträge zur Riemann’schen Funktionentheorie, Mathem. Annalen, Bd. 21 (1882/83), S. 183ff. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 673ff.] Man vergleiche auch meine Arbeit, Über Rlemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten, Mathem. Annalen, Bd. 39 (1891), S. 1–61. [Diese Werke, Bd. I, S. 321–383.]Google Scholar
  10. 1).
    In den Figuren habe ich, dem Vorgange C. Neumanns (Theorie der Abelschen Funktionen, Leipzig 1884) folgend, die positiven Ufer durch stärker gezeichnete Linien kenntlich gemacht. Die Pfeile geben den positiven Durchlaufungssinn für die Begrenzung der zerschnittenen Fläche an.Google Scholar
  11. 1).
    Ein anderer auf Betrachtungen der Analysis situs beruhender Beweis findet sich in meiner Arbeit: Über Biemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten, Mathem. Annalen, Bd. 39 (1891), S. 1–61. [Diese Werke, Bd. I, S. 321–383.]Google Scholar
  12. 1).
    Mathem. Annalen, Bd. 3 (1871), S. 150–156.Google Scholar
  13. 1).
    Ist Z 0 eine bestimmte der Funktionen Z, so kann man für Φ z. B. diejenige über der Z 0-Ebene ausgebreitete Fläche nehmen, welche die Verzweigung der Funktionen Z in bezug auf Z 0 darstellt.Google Scholar
  14. 1).
    Die an die Untersuchungen von F. Klein, Math. Annalen, Bde. 9–17 [Ges. Abhandlungen, Bd. II] anknüpfenden Arbeiten von W. Dyck, Mathem. Annalen, Bde. 17 und 20 (1880 und 1882) über reguläre Riemann’sche Flächen bieten mannigfaltige Berührungspunkte mit den obigen Betrachtungen. Was den zuletzt angeführten Satz angeht, so vergleiche man den Satz von Dyck, Mathem. Annalen, Bd. 20 (1882), S. 30.Google Scholar
  15. 1).
    Vergl. Klein-Fricke: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd. 1 (Leipzig, 1890), die Figur S. 109.Google Scholar
  16. 2).
    Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen, Mathem. Annalen, Bd. 14 (1878/79), S. 428–471. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 90–136.] Siehe auch Kapitel 6 des im vorigen Zitat genannten Werkes.Google Scholar
  17. 1).
    F. Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Leipzig 1884.Google Scholar
  18. 1).
    Man sehe auch die interessante (klein gedruckte) Bemerkung auf S. 385 und 386 der 2. Auflage der gesammelten Werke von Rie mann.Google Scholar
  19. 2).
    Die Untersuchungen Appells lassen sich durch Einführung des oben gewählten Schnittsystems vereinfachen. Es kommen dann nämlich alle auf die Schnitte c bezüglichen Betrachtungen in Wegfall.Google Scholar
  20. 1).
    Es kann wohl kein Missverständnis herbeiführen, dass in den Formeln (3) π die Ludolph’sche Zahl bedeutet, während andererseits in den Formeln (4) und (5) wie überall in diesen Betrachtungen π das Geschlecht der Riemann’schen Fläche Φ bezeichnet.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

There are no affiliations available

Personalised recommendations