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Über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe

  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Wenn in der Gauss’sehen hypergeometrischen Reihe
$$F(l,m,n,x) = 1 + \frac{{l \cdot m}}{n}\frac{x}{1} + \frac{{l(l + 1)m(m + 1)}}{{n(n + 1)}}\frac{{{x^2}}}{{2!}} + \ldots $$
(1)
die Elemente l, m, n positive reelle Werte besitzen, so ist klar, dass die Reihe für jedes positive x einen positiven Wert annimmt, und dass es daher keinen zwischen 0 und 1 liegenden Wert von x geben kann, welcher die Gleichung
$$F(l,m,n,x) = 0$$
(2)
befriedigt. Sind dagegen die Elemente l, m, n nicht sämtlich positiv, so kann die Gleichung (2) möglicherweise für einen oder mehrere zwischen 0 und 1 liegende Werte von x erfüllt sein, und es entsteht die Aufgabe, genau die Anzahl der zwischen 0 und 1 liegenden Wurzeln der Gleichung (2) zu ermitteln.

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Referenzen

  1. 1).
    Vergl. die Mitteilung: „Über die Nullatellen der hypergeometrischen Reihe“, Göttinger Nachrichten, 1890, S. 382–383, welche weiter ausgeführt im 87. Bande der Mathem, Annalen (1890), S. 573–590, erschienen ist. [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 550–567.]Google Scholar
  2. 2).
    Vergl. etwa Serret, Cours d’algèbre supérieure, 4e éd., Paris 1877, Bd. I, S. 285.Google Scholar
  3. 1).
    Für diese Funktionen hat Herr Stieltjes, Sur les polynômes de Jacobi, Comptes Rendus, vol.100 (1885), p. 620–622 [Oeuvres, t.1, p. 442–444], die zugehörigen Sturm’schen Reihen aufgestellt und bemerkt, dass man aus diesen Reihen die Anzahl der reellen Nullstellen der Funktionen leicht ableiten kann. Auf anderem Wege gelangte Herr Hubert zur Bestimmung dieser Anzahlen. Vergl. Hubert, Über die Diskriminante der im Endlichen abbrechenden hypergeometrischen Reihe, Crelles Journal, Bd. 103 (1888), S. 337–345.Google Scholar
  4. 1).
    Der Satz gilt auch noch, wenn eines oder jedes der Elemente l, m gleich Null oder gleich einer negativen ganzen Zahl ist. Nur hat man dann für k die erste Zahl der Reihe 0, 1, 2, 3,... zu wählen, für welche eine der beiden Grössen l + k, m + k verschwindet.Google Scholar
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    Über die Nullstellen der Bessel’schen Funktion, Mathem. Annalen, Bd. 33 (1889), S. 246–266. [Diese Werke, Bd. I, S. 266–286.]Google Scholar
  6. 2).
    [[Vgl- diese Werke, Bd. I, Abhandlungen XXXVII und XL.]]Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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