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Über die Nullstellen der Bessel’schen Funktion

  • Adolf Hurwitz
Chapter

Zusammenfassung

Diejenigen Werte des Argumentes z, für welche die Bessel’sche Transzendente
$${J_n}(z) = {\left( {\frac{z}{2}} \right)^n}\left[ {\frac{1}{{\Gamma (n + 1)\Gamma (1)}} - \frac{{{{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^2}}}{{\Gamma (n + 2)\Gamma (2)}} + - ... + \frac{{{{( - 1)}^r}{{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^{2r}}}}{{\Gamma (n + r + 1)\Gamma (r + 1)}} - ...} \right]$$
(1)
verschwindet, spielen bekanntlich in vielen mathematisch-physikalischen Untersuchungen eine wichtige Rolle. Man weiss von diesen Nullwerten, dass sie sämtlich reell sind, wenn der Index n einen reellen Wert besitzt, welcher nicht kleiner als — 1 ist. Den Beweis dieses Satzes pflegt man nach Pois son’s Vorgang auf eine Integralformel zu gründen (vergl. unten § 7), die auch sonst in der Theorie der Bessel’schen Funktionen von Wichtigkeit ist1). Herr Schläfli hat aus einer ähnlichen Formel eine weitere Eigenschaft jener Nullwerte gefolgert2). Betrachtet man nämlich den einzelnen Nullwert als Funktion ψ(n) des Index n, so wächst ψ(n) beständig, wenn n von Null ausgehend die reellen positiven Werte durchläuft. Endlich ist noch zu bemerken, dass man die Existenz von unendlich vielen Wurzeln der Gleichung J n (z) = 0 aus dem asymptotischen Wert von J n (z) für unendlich grosse Werte von z geschlossen hat3).

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Referenzen

  1. 1).
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    [[Unter „ovalen” sind wohl „geschlossene” Züge zu verstehen. Anm. von G. P.]]Google Scholar
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    Siehe die Mg. 5, welche diese Verhältnisse qualitativ veranschaulichen soll. Die Figur bezieht sich auf den Fall μ = 1 (vergl. unten § 8).Google Scholar
  7. 1).
    Wenn n kontinuierlich in einen ganzzahligen Wert übergeht, so werden die imaginären Wurzeln sämtlich unendlich klein.Google Scholar
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  10. 1).
    Siehe Figur 5.Google Scholar

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© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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