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Über diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen

  • Adolf Hurwitz
Chapter

Zusammenfassung

In den nachfolgenden Zeilen beschäftige ich mich namentlich mit der Aufgabe: alle irreduzibeln algebraischen Gleichungen
$$f = (s,z) = 0$$
zu bestimmen, welche durch eine rationale eindeutig umkehrbare Transformation
$$\left\{ \begin{gathered}s' = \varphi (s,z) \hfill \\z' = \psi (s,z) \hfill \\\end{gathered} \right.$$
in sich übergeführt werden können, oder — was offenbar auf dasselbe hinauskommt — alle diejenigen Riemann’schen Flächen (algebraischen Gebilde) anzugeben, auf welchen eine ein-eindeutige algebraische Korrespondenz (s, z; s′, z′) existiert. Der Fall, in welchem das Geschlecht p des Gebildes gleich Null oder Eins ist, bildet bei dieser Untersuchung einen leicht für sich zu behandelnden, übrigens seit langem erledigten Ausnahmefall. Ich setze deshalb im Folgenden, wenn ich nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerke, stets voraus, dass das Geschlecht der zu betrachtenden Gebilde grösser ist als Eins.

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Referenzen

  1. 1).
    [[Einem Wunsche von Hurwitz gemäss bringen wir die kürzere Fassung der Annalen zum Abdruck, in welcher der in den Göttinger Nachrichten veröffentlichte Nachtrag dieser Arbeit, ein Brief an Herrn Fuchs, weggelassen wurde.]]Google Scholar
  2. 1).
    Die Gleichungen (1) sind als spezieller Fall in den Relationen enthalten, welche ich für irgendeine Korrespondenz auf S. 12 meiner Note : Über algebraische Korrespondenzen und das verallgemeinerte Korrespondenzprinzip (Berichte der k. sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, mathematisch-physische Klasse, 1886, S. 10–38) aufgestellt habe. Diese neuerdings in den Mathematischen Annalen, Bd. 28 (1887), S. 561–585 wieder abgedruckte Note werde ich in der Folge mit C. zitieren. [Diese Werke, Bd. I, S. 163.]Google Scholar
  3. 2).
    Siehe Hamburger, Bemerkung über die Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten, Crelles Journal, Bd. 76 (1873), S. 113–125.Google Scholar
  4. 1).
    Auf den sich hier anschliessenden Satz, dass eine Riemann’sche Fläche (p > 1) eine unendliche Zahl von eindeutigen Transformationen in sich nicht besitzen kann, hoffe ich demnächst zurückzukommen. Man vergl. wegen desselben Klein und Poincaré, Sur un théorème de M. Fuchs, Acta Mathematica, Bd. 7 (1885), S. 1–32, insbes. S. 16–19. Der Satz, dass eine kontinuierliche Schar von eindeutigen Transformationen bei p > 1 nicht existieren kann, lässt sich leicht aus den Entwicklungen des Textes ableiten. Auf diesen Satz beziehen sich die Aufsätze von H. A. Schwarz, Über diejenigen algebraischen Gleichungen zwischen zwei veränderlichen Grössen, welche eine Schar rationaler eindeutig umkehrbarer Transformationen in sich selbst zulassen, Crelles Journal, Bd. 87 (1879), S. 139–145 [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 285–291]; Hettner, Über diejenigen algebraischen Gleichungen usw., Göttinger Nachrichten, 1880, S. 386—398 und Noether, Note über die algebraischen Kurven, welche eine Schar eindeutiger Transformationen in sich zulassen, Mathem. Annalen, Bd. 20 (1882), S. 59–62, und Nachtrag zu dieser Note, Mathem. Annalen, Bd. 21 (1883), S. 138–140. — Die letzte Angabe bedarf insofern einer Berichtigung, als Herr Noether (a.a.O.) sich nicht auf die Betrachtung kontinuierlicher Scharen von eindeutigen Transformationen beschränkt, sondern in voller Allgemeinheit nachweist, dass ein algebraisches Gebilde (p > 1) eine unendliche Anzahl eindeutiger Transformationen in sich nicht besitzen kann. [Januar 1888.]Google Scholar
  5. 1).
    Siehe z. B. Weber, „Über die Transformationstheorie der Theta-Funktionen, insbesondere derer von drei Veränderlichen”, Annali di Matematica, Serie II, Bd. 9 (1878/79), S. 126–166.Google Scholar
  6. 1).
    Über die prinzipale Transformation der Thetafunktionen mehrerer Variablen, Crelles Journal, Bd. 95 (1883), S. 264–296. Diese Transformationen sind zuerst untersucht von Herrn Kronecker in dem Aufsatze: „Über bilineare Formen”, Berichte der Berliner Akademie 1866, S. 597–612, oder Crelles Journal, Bd. 68 (1868), S. 273–285. [Werke, Bd. I, S. 143–162.] Man sehe auch Weber, a.a. 0., und Wiltheiss, Über Thetafunktionen, die nach einer Transformation in ein Produkt von Thetafunktionen zerfallen, Mathem. Annalen, Bd. 26 (1886), S. 127–142.Google Scholar
  7. 2).
    Siehe C. § 2.Google Scholar
  8. 3).
    S. 273, 281 und 282.Google Scholar
  9. 1).
    Diese Betrachtung ergibt zugleich diejenigen Integrale der ursprünglichen Fläche, welche sich, infolge der eindeutigen Transformation der Fläche in sich, auf ein niederes Geschlecht reduzieren.Google Scholar
  10. 2).
    [[Vergl. zu dieser Redewendung die Anmerkung des Herausgebers auf S. 171 dieses Bandes. Anm. v. H. W.]]Google Scholar
  11. 1).
    Siehe wegen dieser Darstellung der Riemann’schen Flächen: Weber: „Über gewisse in der Theorie der Abel’schen Funktionen auftretende Ausnahmefälle”, Mathem. Annalen, Bd. 13 (1878), S. 35–48 und namentlich No ether: „Über die invariante Darstellung algebraischer Funktionen”, Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880/81), S. 263–284.Google Scholar
  12. 1).
    Ich nenne hier statt aller nur die den vorliegenden Betrachtungen am nächsten stehende Arbeit von W. Dyck, „Über Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann’scher Flächen”, Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880/81), S. 473–509. Wegen der weiteren im Texte entwickelten Ideen vergleiche man folgende Publikationen von F. Klein, Über die Auflösung gewisser Gleichungen vom siebenten und achten Grade, Mathem. Annalen, Bd. 15 (1879), S. 251–282 [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 390–438]; Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Leipzig 1884, sowie den neuerdings erschienenen Aufsatz: „Zur Theorie der allgemeinen Gleichungen sechsten und siebenten Grades”, Mathem. Annalen, Bd. 28 (1886/87), S. 499–532. [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 439–472.]Google Scholar

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© Springer Basel AG 1932

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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