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Über endliche Gruppen linearer Substitutionen, welche in der Theorie der elliptischen Transzendenten auftreten

  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Durch die Untersuchungen über die Anwendung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen auf die Zahlentheorie, mit welchen ich seit längerer Zeit beschäftigt bin, wurde ich veranlasst, einen Teil derjenigen Resultate weiter zu verfolgen, welche Herr Klein in seinen neuesten Publikationen über elliptische Modulfunktionen1) dargelegt hat. Ich meine hier namentlich die Sätze über das Verhalten der n-gliedrigen σ-Produkte X a (u) bei linearer Transformation der Perioden ω 1, ω 2 2). Diese Sätze habe ich zunächst auf den Fall auszudehnen versucht, welchen Herr Klein ausschliesst, um seinen Entwicklungen eine grössere Gleichmässigkeit zu geben, nämlich den Fall wo die Zahl n einen geraden Wert besitzt. Es stellte sich dabei heraus, dass auch in diesem Falle n σ-Produkte X a (u) so definiert werden können, dass dieselben bei linearen Transformationen der Perioden lineare homogene Substitutionen mit rein numerischen Koeffizienten erfahren. Dieses Resultat und die Untersuchung der Substitutionsgruppe der Funktionen X a (u), welche entsteht, wenn man die Perioden allen möglichen linearen Transformationen unterwirft, bezeichnen den wesentlichen Inhalt der ersten fünf Paragraphen der nachfolgenden Abhandlung.

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Referenzen

  1. 1).
    „Zur Theorie der elliptischen Funktionen n ter Stufe”, Berichte der k. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften vom 14. November 1884 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 198–254, insbesondere Fussnote 7) der Seite 200]; „Über die elliptischen Normalkurven der N ten Ordnung und zugehörige Modulfunktionen der N ten Stufe”, Abhandlungen der mathematisch-physikalischen Klasse der k. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften, Bd. 13 (1887), S. 337 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 198–254]. Letztere Abhandlung soll in der Folge mit M. zitiert werden. Man findet dort auch zahlreiche Zitate auf verwandte Untersuchungen anderer Mathematiker.Google Scholar
  2. 2).
    M. § 15–17.Google Scholar
  3. 1).
    „Über die Auflösung gewisser Gleichungen vom siebenten und achten Grade”, Mathem. Annalen, Bd. 15 (1879), S. 253–255 [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 392–395]. Für meine Zwecke würden schon die von Herrn Klein entwickelten Resultate ausgereicht haben; doch hätte die Darstellung ihre Eleganz eingebüsst, wenn ich auf die oben erwähnte Verallgemeinerung hätte verzichten wollen. (Vergl. die Anmerkung zu S. 217 dieser Werke.)Google Scholar
  4. 1).
    Die Grössen z, h sind die Weierstrass’sehen z 2, h 2. (Siehe die „Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen”. Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Professor K. Weierstrass, bearbeitet und herausgegeben von H.A. Schwarz, Berlin, 1. Auflage 1885.) Im übrigen weichen meine Bezeichnungen, wie die des Herrn Klein, nur insofern von den Weierstrass’schen ab, als 2ω, 2ω′, 2η, 2η′ bezw. durch ω 1, ω 2, η 1, η 2 ersetzt werden.Google Scholar
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    „ Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen”, Grelles Journal, Bd. 83 (1877), S. 265–292.Google Scholar
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    Setzen wir hier n = 2, so haben wir die 48 homogenen Substitutionen von der Determinante 1, welche den 24 Oktaederdrehungen entsprechen (vergl. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder, Leipzig 1884, S. 38, 39). In der Tat ist X 0(u) : X 1(u) für u = 0 in diesem Falle die Oktaederirrationalität.Google Scholar
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    Vergl. M. Formeln (106) und (109).Google Scholar
  11. 1).
    Dabei muss der Isomorphismus so beschaffen sein, dass jeder Substitution des einen Systems nur eine Substitution des andern entspricht, während umgekehrt jeder Substitution dieses Systems beliebig viele Substitutionen des ersten korrespondieren dürfen. — Die Aufgabe ist für den Fall, dass beide Substitutionssysteme nur endlich viele Substitutionen enthalten, von Herrn Klein (über Gleichungen 7ten und 8ten Grades, Mathem. Annalen, Bd. 15,1879, S. 251) [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 390] gelöst worden. Da man die im Texte vorkommende Gruppe T durch die endliche Gruppe der mod. n, 2n oder 4n betrachteten linearen Transformationen von ω 1, ω 2 ersetzen kann, so sind die allgemeinen Sätze des Hrn. Klein auf den im Texte vorliegenden Fall anwendbar. Hierher gehörige Entwickelungen gibt Herr Morera unter der Voraussetzung, dass n eine ungerade Primzahl sei, in der Note „Über einige Bildungsgesetze in der Theorie der Teilung und der Transformation der elliptischen Funktionen”, Mathem. Annalen, Bd. 25 (1885), S. 203–211. Herr Morera behandelt indes nicht direkt das System der X a, sondern zieht andere in der Literatur vorkommende Substitutionssysteme von verwandtem Charakter in Betracht.Google Scholar
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    Siehe z. B. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, I.Supplement, herausgegeben von R. De de kind, Braunschweig.Google Scholar
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    Z. B. durch Vermehrung von u und v um n te Teile von Perioden.Google Scholar
  14. 1).
    Siehe S. 170 meiner Abhandlung: „Über Relationen zwischen Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante” Mathem. Annalen, Bd. 25 (1885); [Diese Werke, Bd. II, XLIV].Google Scholar
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Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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