Advertisement

Über die Entwicklung komplexer Grössen in Kettenbrüche

Acta Mathematica, Bd. 11, 1887–1888, S. 187–200
  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Es möge (S) ein System von Zahlen bezeichnen, welches die Eigenschaft besitzt, dass die Summe, die Differenz und das Produkt irgend zweier Zahlen des Systems wieder Zahlen des Systems sind1). Wenn die komplexen Grössen in der üblichen Weise durch die Punkte einer Ebene dargestellt werden, so wird den Zahlen von (S) ein gewisses System von Punkten entsprechen. Ich nehme an, das System (S) sei so beschaffen, dass von diesen Punkten in jedem endlichen Gebiete der Ebene nur eine endliche Anzahl liegt. Daraus folgt, dass ausser der Null keine andere Zahl von (S) existiert, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist. Denn die Potenzen dieser Zahl würden sämtlich Zahlen von (S) sein und im Innern des um den Nullpunkt mit dem Radius 1 beschriebenen Kreises liegen. Eine letzte Voraussetzung, die ich in Betreff des Systems (S) mache, ist die, dass die Zahl 1 dem Systeme angehört.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Referenzen

  1. 1).
    Eine Theorie solcher Zahlsysteme ist in den bekannten Arbeiten von Kronecker und Dedekind, vorzugsweise für den Fall algebraischer Zahlen, entwickelt. Vgl. insbesondere das XI. Supplement zu Dirichlet’s Vorlesungen über Zahlentheorie, Dritte Auflage, Braunschweig 1879.Google Scholar
  2. 1).
    Für den Fall der Entwicklung reeller Grössen in Kettenbrüche, deren Teilnenner gewöhnliche reelle positive ganze Zahlen sind, hat Herr Hermite diese Gleichung zum Beweise der periodischen Entwicklung quadratischer Irrationalitäten verwendet: Sur la théorie des fractions continues, Bulletin des sciences mathématiques, 2me série, t. 9 (1885), p. 11–13 [Oeuvres, vol. IV, p. 178–180].Google Scholar
  3. 1).
    Die Begrenzung von R ist in Figur 1 scharf gezeichnet.Google Scholar
  4. 1).
    Die betreffenden Gebiete sind in der Figur 1 schraffiert.Google Scholar
  5. 1).
    Vgl. die Andeutung in Dirichlets’s Abhandlung: Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et à indéterminées complexes, Grelles Journal, Bd. 24 (1842), S. 336 [Werke, Bd. I, S. 582].Google Scholar
  6. 2).
    Der Euklidische Algorithmus für die Zahlen m + nϱ, welchen Herr Bachmann in seinem Buche „Die Lehre von der Kreisteilung und ihre Beziehungen zur Zahlentheorie”, Leipzig 1872, S. 189, benutzt, ergibt eine andere Kettenbruchentwicklung wie die, welche ich im Texte definiere. Die erstere Entwicklung legt eine Einteilung der Ebene in Rechtecke zu Grunde, deren Mittelpunkte die ganzen Zahlen m + nϱ sind, deren Seiten den Axen der reellen bzw. rein imaginären Zahlen parallel laufen und bzw. die Längen 1 und (Math) besitzen.Google Scholar
  7. 1).
    Die Begrenzung von R ist in Fig. 2 scharf gezeichnet.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

There are no affiliations available

Personalised recommendations