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Über die algebraische Darstellung der Normgebilde

Mathematische Annalen, Bd. 79, 1919, S. 313–320
  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

In der Abhandlung „Über die Theorie der algebraischen Formen“1) betrachtet Herr Hilbert als Beispiel für einige seiner grundlegenden algebraischen Sätze unter anderem die durch die Gleichungen
$${x_0} = \xi _1^3,{x_1} = \xi _1^2{\xi _2},{x_2} = {\xi _1}\xi _2^2,{x_3} = \xi _2^3$$
(1)
definierte Raumkurve dritter Ordnung, wobei x 0, x 1, x 2, x 3 die homogenen Raumkoordinaten und ξ1, ξ2 zwei veränderliche Parameter bezeichnen. Wie Herr Hilbert zeigt, wird diese Kurve durch die quadratischen Gleichungen
$${\Phi _1} \equiv {x_0}{x_2} - x_1^2 = 0,{\Phi _2} \equiv {x_0}{x_3} - {x_1}{x_2} = 0,{\Phi _3} \equiv {x_1}{x_3} - x_2^2 = 0$$
(2)
in dem Sinne vollständig dargestellt, dass die Gleichung jeder die Kurve enthaltenden Fläche in der Gestalt
$$F\left( {{x_0},{x_1},{x_2},{x_3}} \right) \equiv {A_1}{\Phi _1} + {A_2}{\Phi _2} + {A_3}{\Phi _3} = 0$$
(3)
geschrieben werden kann, unter A 1, A 2, A 3 Formen von x 0, x 1, x 2, x 3 verstanden. Oder in anderer Ausdrucksweise:
„Die Formen F(x 0, x 1, x 2, x 3) welche durch die Substitution (1) in identisch verschwindende Formen der Parameter ξ1, ξ2 übergehen, bilden den durch die Unterdeterminanten zweiten Grades der Matrix
$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0},{x_1},{x_2}} \\{{x_1},{x_2},{x_3}} \\\end{array}} \right|$$
definierten Modul.“

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Referenzen

  1. 1).
    Mathem. Annalen, Bd. 36 (1890), S. 473–534.Google Scholar
  2. 1).
    Vgl. W. Fr. Meyer in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. Il, S. 392, Anmerkung 383a).Google Scholar
  3. 1).
    Hilbert, a. a. O. S. 509. Die charakteristische Funktion heisst „Hilbert’sche Funktion“ des Moduls M nach E. Lasker. Vgl. dessen inhaltsreiche Abhandlung „Zur Theorie der Moduln und Ideale“, Mathem. Annalen, Bd. 60 (1905), S. 20–116.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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