Advertisement

Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen

Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309—316
  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Im Gebiete der quadratischen Formen von n Variablen wird eine Kompositionstheorie stattfinden, wenn für irgend drei quadratische Formen φ, ψ, χ von nicht verschwindender Determinante die Gleichung
$$ \varphi \left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right)\psi \left( {{y_{1}},{y_{2}}, \ldots {y_{n}}} \right) = \chi \left( {{z_{1}},{z_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right) $$
(1)
dadurch befriedigt werden kann, dass man die Variablen z 1, z 2,...z n durch geeignet gewählte bilineare Funktionen der Variablen x 1, x 2,...x n und y 1, y 2,...y n ersetzt. Da eine quadratische Form durch lineare Transformation der Variablen in eine Summe von Quadraten übergeführt werden kann, so darf man, ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, an Stelle der Gleichung (1) die folgende:
$$ \left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}} \right)\left( {y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \ldots + y_{n}^{2}} \right) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \ldots + z_{n}^{2}$$
(2)
betrachten. Hiernach ist die Frage, ob für quadratische Formen mit n Variablen eine Kompositionstheorie existiert, im wesentlichen identisch mit der andern, ob man der Gleichung (2) durch geeignete bilineare Funktionen z 1, z 2,...z n der 2n unabhängigen Variablen x 1, x 2,...x n , y 1, y 2,...y n genügen kann. In den folgenden Zeilen will ich zeigen, dass dieses nur in den Fällen n = 2, 4, 8 möglich ist, dass also nur für binäre Formen, für quaternäre Formen und für Formen mit 8 Variablen eine Kompositionstheorie existiert.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Referenzen

  1. 1).
    Roberts und Cayley haben sich im 16. und 17. Bande des Quarterly Journal mit dem Nachweis beschäftigt, dass ein Produkt von zwei Summen von je 16 Quadraten nicht als Summe von 16 Quadraten darstellbar sei. Ihre äusserst mühsamen, auf Probieren beruhenden Betrachtungen besitzen indessen keine Beweiskraft, weil ihnen bezüglich der bilinearen Formen z 1, z 2,... spezielle Annahmen zugrunde hegen, die durch nichts gerechtfertigt sind. Die ältere Literatur über den Gegenstand findet sich in der Arbeit von Roberts erwähnt.Google Scholar
  2. 1a).
    Man vergleiche auch: AA Brioschi, Sur l’analogie entre une classe de déterminants d’ordre pair, Crelles Journal, Bd. 52 (1856), S. 133–141 [Opere mathematiche, vol. 5, p. 511–520].CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  3. 1b).
    F. Studnicka, Neuer Beweis des Satzes, dass das Produkt der Summe von acht Quadratzahlen mit der Summe von acht Quadratzahlen sich als Summe von acht Quadratzahlen darstellen lasse, Prager Berichte, 1883, S. 475–481.Google Scholar
  4. 1d).
    A. Puchta, Über einen Satz von Euler-Brioschi-Genocchi, Wiener Berichte, Bd. 96 (1888), S. 110–133.Google Scholar
  5. 1).
    AA Cayley, A memoir on the theory of Matrices, Phil. Trans., vol.148 (1858), p.17–38.CrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

There are no affiliations available

Personalised recommendations