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Über die Erzeugung der Invarianten durch Integration

Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1897, S. 71–90
  • Adolf Hurwitz
Chapter

Zusammenfassung

Es liege eine endliche Gruppe von diskreten Substitutionen vor, die sieh auf die Variablen x 1, x 2,...x n beziehen. Dann gibt es ein einfaches Verfahren, um alle Invarianten dieser Gruppe herzustellen. Man wende nämlich auf eine beliebige Funktion f(x 1, x 2,... x n ) die sämtlichen Substitutionen der Gruppe an und bilde sodann die Summe aus allen so entstehenden Funktionen. Diese Summe stellt offenbar eine Invariante der Gruppe vor, und zwar die allgemeinste, da eine beliebige Invariante φ (x 1, x 2,...x n ) jedenfalls durch die Annahme \( f\left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right) = \frac{1}{r}\varphi \left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right) \) erhalten wird, wo r die Anzahl der in der Gruppe enthaltenen Substitutionen bezeichnet. In ähnlicher Weise kann man bekanntlich auch die Invarianten yon unendlichen diskontinuierlichen Gruppen bilden. Ich habe nun den Gedanken verfolgt, dieses sich so zu sagen von selbst darbietende Verfahren zur Erzeugung der Invarianten auf die kontinuierlichen Gruppen zu übertragen, wo dann naturgemäss bestimmte Integrale an die Stelle der Summen treten. Dabei richtete ich mein Augenmerk zunächst auf die ganzen rationalen Invarianten der algebraischen Formen, also auf diejenigen ganzen rationalen Funktionen der Koeffizienten einer Form, die sich nicht ändern, wenn man auf die Variablen der Form eine beliebige lineare, homogene, unimodulare Substitution ausübt.

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Referenzen

  1. 1).
    Der Einfachheit wegen betrachte ich hier und nachher bei der Gruppe aller unimodularen Substitutionen nur die Invarianten einer einzigen Form. Die zu beweisenden Sätze gelten indessen, wie man ohne weiteres erkennt, in entsprechender Weise auch für die Simultan-Invarianten eines beliebigen Formensystems.Google Scholar
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    Vgl. die Ausführungen, die Herr Hilbert in seiner Abhandlung gibt: Über die Theorie der algebraischen Formen, Mathem. Annalen, Bd. 36 (1890), S. 473–534, insbes. S. 531 ff.Google Scholar
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    Einen andern, aber weniger einfachen Beweis für die Irreduzibilität von B hat Kronecker gegeben (Berl. Sitz., Bd. 28, S.873; Werke, Bd-IIIp S.415). Die Abbildung von B auf das Parallelotop (18) gibt überdies Aufschluss über die .Zusammenhangsverhältnisse des Gebildes im Sinne Rie mann’s [[wenn die Singularitäten der Abbildung, in denen ein Winkel φ rs = 0 oder Π wird (r > 0) und infolgedessen die Eindeutigkeit der Abbildung gestört ist, gehörig berücksichtigt werden. — Anm. von H. W.]]Google Scholar
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    Diese [[„unitären“]] Substitutionen kommen auch bei anderen Untersuchungen in Betracht. Vgl. AA Frobenius: „Über die prinzipale Transformation der Thetafunktionen mehrerer Variablen“, Crelles Journal, Bd. 95 (1883), S. 264–296.zbMATHGoogle Scholar
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    Ein anderer Beweis des obigen Satzes ergibt sich leicht (zunächst für die Para-metergruppe und sodann allgemein für jede einfach transitive Gruppe) aus Lie’s allgemeiner Theorie. Vergl. die Gleichungen (8′) auf Seite 405, Bd. I, des zitierten Werkes über Transformationsgruppen.Google Scholar

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© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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