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Der Euklidische Divisionssatz in einem endlichen algebraischen Zahlkörper

Mathematische Zeitschrift, Bd. 3, 1919, S. 123–216
  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

In der elementaren Zahlentheorie pflegt man den Nachweis der Existenz des grössten gemeinsamen Teilers zweier ganzen Zahlen auf den Euklidischen Divisions-Algorithmus zu gründen, welcher auf dem einfachen Satze beruht, dass jede ganze Zahl a in die Gestalt
$$a = qd + r$$
(1)
gesetzt werden kann, wobei ä eine von Null verschiedene ganze Zahl bedeutet und von den beiden ganzen Zahlen q und r die letztere absolut kleiner als d ist. Diesen „Euklidischen Divisionssatz“ kann man, indem man die Gleichung (1) auf die Form
$$\tfrac{a}{d} - q = \tfrac{r}{d}$$
(1’)
bringt, auch so aussprechen:

„Ist ϱ eine rationale Zahl, so kann man die ganze Zahl q so wählen, dass die Differenz ϱ — q absolut kleiner als 1 ausfällt.“

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Referenzen

  1. 1).
    Nachrichten von der kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1895, S. 324–331 [diese Werke, Bd. II, S. 236–243]. Vgl. auch P. Bachmann, Allgemeine Arithmetik der Zahlenkörper, Leipzig 1905, S. 190–195.zbMATHGoogle Scholar
  2. 1).
    Es ist bemerkenswert, dass bei dem arithmetischen Beweise des Satzes von Minkowski, den ich in den Nachrichten von der kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1897, S. 139–145 [diese Werke, Bd. II, S. 331–337] gegeben habe, ebenfalls der erwähnte Dirichiet’sche Schluss Verwendung findet.Google Scholar
  3. 2).
    Vgl. D. Hubert, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 4, 1897, S. 210, Satz 42 [Ges. Abh., Bd. I, S. 99]. Siehe auch E. Landau, Abschätzungen von Charaktersummen, Einheiten und Klassenzahlen, Nachrichten von der kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1918, S. 92, Anmerkung 31.Google Scholar
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    H. Minkowski, Über die positiven quadratischen Formen und über Ketten-bruchähnliche Algorithmen, Crelles Journal, Bd. 107 (1891), S. 278–297; [Werke, Bd. I, S. 243–260].CrossRefzbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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