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Über Relationen zwischen Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante

Mathematische Annalen, Bd. 25, 1885, S. 157–196
  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Die beiden Abhandlungen, welche ich hier veröffentliche, stehen in engstem Zusammenhange mit den unter gleichem Titel erschienenen Arbeiten des Herrn Gierster1). Für die in diesen Arbeiten niedergelegten Untersuchungen war einerseits der Gedankengang massgebend, welchen Herr Kronecker2) zur Herleitung seiner Klassenzahlrela-tionen auf die Modulargleichungen der elliptischen Funktionen zuerst anwandte; andererseits basieren jene Untersuchungen auf der von Herrn Klein3) entwickelten Theorie der Modulfunktionen. Indem nämlich gemäss dieser Theorie die Modulargleichungen der elliptischen Funktionen nur Glieder einer unendlichen Reihe ähnlicher Gleichungen sind, erhebt sich die Frage, ob nicht auch aus jeder dieser Gleichungen in ähnlicher Weise wie aus den Modulargleichungen der elliptischen Funktionen Klassenzahlrelationen gewonnen werden können — und es ist diese von Herrn Klein angeregte Frage, welche Herr Gierster in den genannten Arbeiten mit Erfolg in Angriff genommen hat.

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Referenzen

  1. 1).
    Mathem. Annalen, Bd. 21 (1883), S. 1–50 und Bd. 22 (1883), S. 190–210. Die Abhandlungen sollen im Folgenden mit I. und II. zitiert werden.Google Scholar
  2. 2).
    Über die Anzahl der verschiedenen Klassen quadratischer Formen von negativer Determinante, Crelles Journal, Bd. 57 (1860), S. 248–255 [Werke, Bd. IV, S. 185–195].Google Scholar
  3. 3).
    Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Sitzungsber. der Münchener Akademie, Bd. 10 (1880), S. 89–100 oder Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 62–70 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 169–178].Google Scholar
  4. 4).
    Vgl. Klein, a. a. O.Google Scholar
  5. 1).
    Siehe Gierster: Über Relationen zwischen Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante (Zweite Note), Sitzungsber. der Münchener Akademie, Bd. 10 (1880), S. 147–163 oder Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 74–84.Google Scholar
  6. 2).
    Dazu gehört namentlich auch der in meiner Note: Zur Theorie der Modulargleichungen, Göttinger Nachrichten, 1883, S. 350–363 [diese Werke, Bd. I, S. 138–146], behandelte Fall. Derselbe liefert einen neuen Beweis für diejenigen Klassenzahl-Relationen, welche Herr Kronecker aus anderen Betrachtungen hergeleitet hat: Über quadratische Formen von negativer Determinante, Monatsber. der Berliner Akademie, 1875, S. 223–236 [Werke, Bd. IV, S. 245–259].Google Scholar
  7. 1).
    Siehe Dedekind: Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Crelles Journal, Bd. 83 (1877), S. 265–292 [Ges. Werke, Bd. I, S. 174–201] und Klein: Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades, Mathem. Annalen, Bd. 14 (1879), S. 111–172 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 13–75]. Eine ausführliche Darstellung findet man in meiner Abhandlung: Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikatorgleichungen erster Stufe, Mathem. Annalen, Bd. 18 (1881), S. 528–592 [diese Werke, Bd. I, S. 1–66].zbMATHGoogle Scholar
  8. 1).
    J (ω) ist die absolute Invariante des elliptischen Integrals 1. Gattung und identisch mit der „Valenz” des Herrn Dedekind.Google Scholar
  9. 1).
    Vgl. Dedekind, a, a. O. S. 287 [Ges. Werke, Bd. I, S. 196].Google Scholar
  10. 1).
    Siehe Gierster, I, S. 25.Google Scholar
  11. 1).
    Die Zahl q wird, wie schon in der Einleitung erwähnt ist, im letzten Teile des Abschnittes als Primzahl Vorausgesetzt.Google Scholar
  12. 2).
    Vgl. wegen dieses und des folgenden Paragraphen: Klein: Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichung fünften Grades, Mathem. Annalen, Bd. 14 (1879), S. 151 und 152 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 55 u. 56].Google Scholar
  13. 1).
    Es ist (ω), beiläufig bemerkt, eine η-Funktion im Sinne der Klein’sehen Abhandlung: Neue Beiträge zur Riemann’schen Funktionentheorie, Mathem. Annalen, Bd. 21 (1883), S. 141–218 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 630–710].Google Scholar
  14. 1).
    Vergl. wegen der letzten beiden Sätze § 3 der ersten Abhandlung.Google Scholar
  15. 1).
    Siehe § 4 der ersten Abhandlung.Google Scholar
  16. 2).
    Klein, Sitzungsberichte der Münchener Akademie, Bd. 10 (1880), S. 96 oder Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 67 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 174].Google Scholar
  17. 1).
    § 1 der ersten Abhandlung.Google Scholar
  18. 1).
    Vgl. Gierster: I, S. 29ff.Google Scholar
  19. 1).
    Vgl. Gierster I, S. 45.Google Scholar
  20. 1).
    Die Bezeichnung „Uk” ist der Gierster’schen Abhandlung I entnommen. Die Zahl σ stimmt genau überein mit der von Herrn Gierster als „linke Seite der Klassenzahlrelation” bezeichneten Zahl.Google Scholar
  21. 1).
    Über gewisse Teilwerte der Θ-Funktion, Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 565–574 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 186–196]. Die Bezeichnung habe ich in Rücksicht auf die späteren Entwicklungen etwas modifiziert.Google Scholar
  22. 2).
    Die Perioden dieser Integrale hat Herr Poincaré untersucht: Sur les groupes des équations linéaires, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, t. 96 (1883), p. 691–694 [Oeuvres, vol. II, p. 53–55]. Die Resultate des Herrn Poincaré lassen sich im Anschluss an unsere weiteren Betrachtungen leicht beweisen.Google Scholar
  23. 1).
    Die Indizes der Integrale sind stets (mod. 7) zu reduzieren.Google Scholar
  24. 1).
    Die entsprechenden Schlüsse gelten für beliebige Stufe. Die Aufstellung der Klassenzahlrelationen beliebiger Stufe bietet, wenn die Konstanten ϰ bekannt sind, keinerlei prinzipielle Schwierigkeit mehr.Google Scholar
  25. 1).
    Die Gleichung F(ω′, ω) = 0 stellt die Modularkorrespondenz 7ter Stufe des nten Transformationsgrades vollständig dar. Vergl. meine Arbeit: Zur Theorie der Modulargleiehungen, Göttinger Nachrichten, 1883, S. 350–363 [diese Werke, Bd. I, S. 138–146].Google Scholar

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© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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