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Über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden

Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Jahrg. XLI, 1896, Jubelband II, S. 34–64
  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

In der vorliegenden Abhandlung werde ich zur Abkürzung mit
$$({a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n})$$
(1)
den Kettenbruch bezeichnen, dessen Teilnenner die Zahlen a0, a1 a2, ... an sind. Der Zahlenwert x dieses Kettenbruches wird aus den Gleichungen
$$x = {a_0} + \frac{1}{{{x_1}}},{x_1} = {a_1} + \frac{1}{{{x_1}}},...,{x_{n - 1}} = {a_{n - 1}} + \frac{1}{{{a_n}}}$$
(2)
durch Elimination der Grössen x1 x2,... xn-1 gefunden. Handelt es sich um einen unendlichen Kettenbruch, so wende ich ebenfalls die Bezeichnung (1) an, nur dass in diesem Falle naturgemäss das letzte Glied a n in der Bezeichnung fortfällt.

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Referenzen

  1. 1).
    O. Stolz, Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, Bd. II, S.285. (Leipzig 1886.)Google Scholar
  2. 1).
    [Diese Werke, Bd. II, S. 129–133.]Google Scholar
  3. 1).
    Die regelmässige Kettenbruchentwicklung der Zahl e ist, wie Herr Rudio in seiner interessanten Schrift: Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung (mit einer Übersicht über die Geschichte des Problemes von der Quadratur des Zirkels), Leipzig 1892, bemerkt, schon von Euler im Jahre 1737 in der Abhandlung „De fractionibus continuis dissertatio” (Comment. Acad. Petrop. T. IX, p.120) mitgeteilt worden.Google Scholar
  4. 1).
    Mathem. Annalen, Bd. 43 (1893), S. 216–224 [Hurwitz auch: diese Werke, Bd. II, S. 134–135].Google Scholar
  5. 1).
    Eine eingehende Untersuchung der Kettenbruchentwicklung nach nächsten Ganzen hat der Verfasser in Bd. 12 der Acta Mathematica (1889) [diese Werke, Bd. II, S. 84–115] veröffentlicht. Mit Hilfe der oben angegebenen Transformation der regelmässigen Kettenbruchentwicklung in die nach nächsten Ganzen lassen sich manche Sätze, die für die erstere Entwicklung gelten, auf die letztere übertragen. Indessen dürfte es schwierig sein, auf diesem Wege die a. a. O. bewiesenen tiefer liegenden Sätze über die Entwicklung nach nächsten Ganzen, insbesondere den merkwürdigen Zusammenhang dieser Entwicklung mit einer nach ganz anderem Gesetze gebildeten zu entdecken.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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