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Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlenkörper

Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1895, S. 332–356
  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Bei den folgenden Untersuchungen bediene ich mich einiger abkürzenden Bezeichnungen, die ich hier vorausschicke. Wenn zwischen den Zahlenpaaren x, y und x′, y′ die Gleichungen
$$\left. \begin{gathered}x' = \alpha x + \beta y \hfill \\y' = \gamma x + \delta y \hfill \\\end{gathered} \right\}$$
(1)
bestehen, so sage ich, dass durch die Substitution oder Transformation
$$S = \left( \begin{gathered}\alpha ,\beta \hfill \\\gamma ,\delta \hfill \\\end{gathered} \right)$$
das Zahlenpaar x, y in das Zahlenpaar x′, y′ übergeht, oder auch dass die Substitution 8 das erstere Zahlenpaar in das letztere überführt. Die Gleichungen (1) werde ich auch wohl symbolisch durch
$$(x',y') = S(x,y)$$
(2)
andeuten. Die Zusammensetzung der Substitutionen
$$S = \left( \begin{gathered}\alpha ,\beta \hfill \\\gamma ,\delta \hfill \\\end{gathered} \right),{S_1} = \left( \begin{gathered}{\alpha _1},{\beta _1} \hfill \\{\gamma _1},{\delta _1} \hfill \\\end{gathered} \right)$$
geschieht nach der Formel
$$SS1 = \left( \begin{gathered}\alpha {\alpha _1} + \beta {\gamma _1},\alpha {\beta _1} + \beta {\delta _1} \hfill \\\gamma {\alpha _1} + \delta {\gamma _1},\gamma {\beta _1} + \delta {\delta _1} \hfill \\\end{gathered} \right).$$
(3)
D. h. wenn neben den Gleichungen (2) die Gleichungen
$$(x,y) = {S_1}({x_1},{y_1})$$
bestehen, so ergibt die Elimination von x, y
$$(x',y') = S{S_1}({x_1},{y_1}) = T({x_1},{y_1}),$$
wo T die auf der rechten Seite der Gleichung (3) stehende Substitution bezeichnet.

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Referenzen

  1. 1).
    1) Fricke’s hier in Betracht kommende Abhandlungen finden sieh in den Bänden 38, 39, 41, 42 der mathematischen Annalen, in Bd. 17 der Acta mathematica und in den Göttinger Nachrichten von den Jahren 1893, 1894, 1895. Von Bianchi sind fünf Abhandlungen zu nennen, die in den Bänden 38, 40, 42, 43 der mathematischen Annalen und in den Annali di matematica, ser. 2, t. 23, erschienen sind.Google Scholar
  2. 1).
    Vgl. Nr. IV der vorstehenden Abhandlung [diese Werke, Bd. II, S. 241].Google Scholar
  3. 1).
    Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici imaginarî, Mathematische Annalen, Bd. 40 (1892), S. 332–412.Google Scholar
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    Die Sätze dieses Paragraphen sind Verallgemeinerungen bekannter Sätze aus der Theorie der unimodularen rational-ganzzahligen Substitutionen. Vgl. G. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris 1870, und Klein-Fricke, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd. I, Leipzig 1890.Google Scholar
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    Die Terminologie rührt von R. Dedekind her. (Vgl. Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Auflage, Braunschweig 1894, S. 139.)Google Scholar
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    [Diese Werke, Bd. II, S. 241.]Google Scholar
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© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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