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Über die Anzahl der Klassen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante

Acta Mathematica, Bd. 19, 1895, S. 351–384
  • Adolf Hurwitz
Chapter

Zusammenfassung

In der vorliegenden Abhandlung bezeichnet der Buchstabe P stets eine positive ungerade Zahl, die grösser als 1 ist und ausser durch 1 durch keine Quadratzahl teilbar ist. Ferner bedeutet h(D) die Anzahl der Klassen, in welche die eigentlich primitiven positiven Formen
$$a{x^2} + 2bxy + c{y^2}$$
der negativen Determinante
$${b^2} - ac = - D$$
zerfallen. Wenn zur. Abkürzung der Schreibweise
$$\frac{1}{8}P = \omega$$
gesetzt wird, so bestehen nach Dirichlet1) die folgenden Gleichungen, welche die Klassenzahlen durch Summen von Legendre-Jacobischen Zeichen darstellen:
$$I.\;\;h(P) = \sum\limits_0^{4\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 3\;(\bmod .4),$$
$$II.\;\;h(P) = 2\sum\limits_0^{2\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 1\;(\bmod .4),$$
$$III.\;\;h(2P) = 2\sum\limits_0^{3\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} ,\;falls\;P \equiv 3\;(\bmod .4),$$
$$IV.\;\;h(2P) = 2\left\{ {\sum\limits_0^\omega {\left( {\frac{s}{P}} \right) - \sum\limits_{3\omega }^{4\omega } {\left( {\frac{s}{P}} \right)} } } \right\},\;falls\;P \equiv 1\;(\bmod .4).$$

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Literatur

  1. 1).
    „Vorlesungen über Zahlentheorie” (herausgegeben von R. Dedekind, 4. Aufl., Braunschweig 1894), § 106.Google Scholar
  2. 1).
    [[Der Fall n = 0 ist hier und in der nächsten Aussage auszuschliessen. — Anm. von M. G.]]Google Scholar
  3. 1).
    Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl., Braunschweig 1894. (Supplement IV.)zbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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