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Über die angenäherte Darstellung der Zahlen durch rationale Brüche

Mathematische Annalen, Bd. 44, 1894, S. 417–436
  • Adolf Hurwitz
Chapter

Zusammenfassung

Die erste Aufgabe, die sich bei der Frage der angenäherten Darstellung der Zahlen durch rationale Brüche darbietet und die ich deshalb als die Fundamentalaufgabe bezeichnen will, ist diese:

Fundamentalaufgabe: Man soll unter den rationalen Brüchen, deren Zähler und Nenner (absolut genommen) die gegebene ganze Zahl n nicht übertreffen, denjenigen bestimmen, welcher sich am wenigsten von der gegebenen Zahl x unterscheidet.

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Referenzen

  1. 1).
    Farey entdeckte bei Gelegenheit einer tabellarischen Aufstellung der Dezimalbruchentwicklung der echten Brüche eine bemerkenswerte Eigenschaft (vgl. § 2, Satz 1) derjenigen Reihe, die entsteht, wenn man die positiven echten Brüche der Grösse nach anordnet. Diese Eigenschaft wurde zuerst von Cauchy im Bulletin des Sciences 1816 bewiesen. Seither sind mehrere Arbeiten über die Farey’schen Reihen erschienen, ohne dass, wie es scheint, die prinzipielle Bedeutung dieser Reihen hervorgehoben worden wäre. Man vergleiche: Stouvenel (Journal de mathématiques, 1. Serie, Bd. 5), Halphen, E. Lucas, M. d’Ocagne (Bulletin de la Société mathématique de France, Bde. 5, 6, 14 und Sylvester (Comptes rendus Bd. 96). In enger Beziehung zu der Theorie der Farey’sehen Reihen steht auch eine Abhandlung von M. A. Stern : Über eine zahlentheoretische Funktion, Crelles Journal, Bd. 55 (1858), S. 193–220.Google Scholar
  2. 1).
    Bringt man auf einem Massstab von der Länge 1 die Teilpunkte an, die den Zahlen einer Farey’schen Reihe entsprechen, so kann man mit Hilfe desselben für jede zu messende Grösse unmittelbar die besten Annäherungen durch rationale Zahlen bestimmen. Indem man die zu messende Länge nicht an den Nullpunkt, sondern an einen geeignet gewählten Teilpunkt des Massstabes anlegt, kann man, bei verhältnismässig geringer Zahl von Teilungen des Massstabes, eine erhebliche Genauigkeit erreichen.Google Scholar
  3. 1).
    Vgl. z.B. Serret, Cours d’algèbre supérieure, 4me éd., Paris 1877, Bd. I, S. 80ff.Google Scholar
  4. 1).
    Die Bezeichnung lehnt sich an eine von Herrn Christoffel (Lehrsätze über arithmetische Eigenschaften der Irrationalzahlen, Annali di Matematica, 2. Serie Bd. 15, 1887/88, S. 253–276) eingeführte an.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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