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Erste Anwendungen der Differentialrechnung auf die Geometrie und die Funktionen-Diskussion

  • A. Ostrowski
Chapter
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 4)

Zusammenfassung

Wir sagen, eine im Punkte x 0 und in einer Umgebung von x 0 definierte Funktion wächst beim Durchgang durch x 0 (geht wachsend durch x 0), wenn ihre Werte für benachbarte x unterhalb x 0 kleiner als f(x0) und für benachbarte x oberhalb x 0 grösser als f(x 0) sind; m.a.W., wenn für alle hinreichend kleinen positiven h:
$$f'({x_0}) = \mathop {Lim}\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$$
(85.1)
gilt. Handelt es sich aber nur um eine rechtsseitige Umgebung von x 0 , so verlangen wir nur das Bestehen der rechtsseitigen Ungleichung; und ebenso wird nur das Bestehen der linksseitigen Ungleichung verlangt, wenn es sich um eine linksseitige Umgebung von x 0 handelt.

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Literatur

  1. 1).
    Wir erinnern an die Definition der Monotonie in der Nr. 37, p. 88.Google Scholar
  2. 1).
    Pierre de Fermat (1601–1665).Google Scholar
  3. 1).
    Zuerst veröffentlicht von Marquis de L’Hospital (Guillaume François de L’Hospital, 1661–1704) in seiner «Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes», 1696, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung, das wegen seiner leicht fasslichen Darstellung grosse Verbreitung gefunden hat. Doch geht die obige Regel auf Johann Bernoulli zurück.Google Scholar
  4. 1).
    Man sagt dafür auch Jordanbogen. Google Scholar
  5. 1).
    Mit dieser Bezeichnung ist, den Konventionen der Nr. 43 entsprechend, der Winkel aus der Richtung OA in die Richtung OB gemeint.Google Scholar
  6. 1).
    Darunter versteht man die Kosinusse der Winkel zwischen der gegebenen Geradenrichtung und den positiven Achsenrichtungen. Man beachte, dass, da cos Φ eine gerade Funktion von Φ ist, es für die Werte der Richtungskosinusse auf die Vorzeichen der Winkel nicht ankommt. Dass aber durch die Werte der drei Richtungskosinusse die zugehörige Geradenrichtung eindeutig bestimmt wird, wird im Lehrgang der analytischen Geometrie bewiesen.Google Scholar
  7. 1).
    Diese Entwicklung ist zuerst 1668 von Mercator entdeckt worden. Auf Mercator geht überhaupt die Benutzung unendlicher Reihen in der Analysis zurück.Google Scholar
  8. 1).
    Die entsprechende unendliche Reihe ist dem Wesen der Sache nach von James Gregory, 1668, und in voller Ausführlichkeit durch E. Halley, 1695, aufgestellt worden.Google Scholar
  9. 1).
    Diese Entwicklung ist 1671 von J. Gregory aufgestellt worden.Google Scholar
  10. 1).
    Von Leibniz ohne Kenntnis der Formel (108,4) aufgestellt in einer anscheinend 1674 an Huygens übersandten Schrift; doch ist diese Entwicklung natürlich in der 1671 entdeckten Formel (108,4) von Gregory enthalten.Google Scholar
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    Diese zuerst von Lhuilier 1786 als Taylorsche Reihe bezeichnete Formel findet sich in B. Taylors 1715 erschienenen Werke: Methodus incrementorum directa et inversa. Taylor gelangt zu ihr durch einen Grenzübergang aus einer entsprechenden Formel der Differenzenrechnung.Google Scholar
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    Diese Potenzreihe dürfte um 1669 durch eine, allerdings erst im nächsten Jahrhundert durch den Druck veröffentlichte Schrift von Newton in Gelehrtenkreisen bekannt geworden sein. Newton kam auf diese Potenzreihe, indem er direkt die Umkehrung der Potenzreihe für lgx herausrechnete.Google Scholar
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    Die Irrationalität von e wurde zuerst 1767 von Lambert bewiesen mit Hilfe einer Kettenbruch-entwicklung.Google Scholar
  15. 1).
    Auch die Reihenentwicklungen (112,6) und (112,7) von sin x und cos x rühren von Newton her und waren ihm bereits vor 1669 bekannt.Google Scholar
  16. 1).
    Von dem Zusammenhang zwischen den trigonometrischen und Exponential-Funktionen findet sich die erste Spur bei Johann Bernoulli, der bei einer Integration durch Partialbruchzerlegung komplexe Zahlen benutzt und damit implizite den Übergang vom arctg zum lg einer imaginären Grösse leistet. Die Formel (113,1) findet sich in logarithmischer Form wohl zum ersten Mal bei R. Cotes 1714 und 1722. Doch ist der gesamte Zusammenhang erst durch Euler seit 1740 klargelegt und 1748 vollständig dargestellt worden.Google Scholar
  17. 1).
    Das damit angedeutete Programm wird im § 1 des dritten Bandes dieser Vorlesungen durchgeführt werden.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1965

Authors and Affiliations

  • A. Ostrowski
    • 1
  1. 1.Universität BaselSchweiz

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