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Grenzwerte

  • A. Ostrowski
Chapter
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 4)

Zusammenfassung

Eine Zahlenfolge
$$ {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots $$
oder, wie wir auch abgekürzt schreiben werden,
$${a_v}(v = 1,2,...)$$
heisst eine Nullfolge, wenn die absoluten Beträge aller Zahlen dieser Folge mit hinreichend grossen Indizes unter jede positive Schranke sinken. (Wir kürzen im folgenden oft das Wort Nullfolge durch NF ab.)

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Literatur

  1. 1).
    Die Wendung «alle bis auf endlich viele» kommt, wie man sieht, in der Analysis sehr oft vor. Diese Wendung kürzt man nach dem Vorschlag von G. Kowalewski durch «fast alle» ab, womit das Wort «fast» eine exakte Bedeutung erhält. Doch hat sich diese Abkürzung noch nicht allgemein eingebürgert. (Vgl. G. Kowalewski, Einführung in die Infinitesimalrechnung, Aus Natur und Geisteswelt, Teubner, 1928, 4. Aufl., p. 15.)Google Scholar
  2. 1).
    Gelegentlich betrachtet man auch Zahlenfolgen a v (v = v0, v 0 + 1,. . .), bei denen die Indizes zwar auch über ganze Zahlen ins Unendliche gehen, die Numerierung aber mit einer ganzen Zahl v 0 beginnt, die > 1 oder < 1 ist. Um für eine solche Folge die Konvergenz oder den Grenzwert zu definieren, werden in ihr im Falle v0 < 1 die endlich vielen Elemente weggelassen, deren Indizes > 1 sind, und im Falle v 0 > 1 endlich viele Elemente mit den Indizes 1, 2, . . ., v0 – 1 in beliebiger Weise hinzugefügt. Ist die so entstehende Folge konvergent und hat sie s zum Grenzwert, so heisst die ursprüngliche Folge konvergent und s ist ihr Grenzwert. Ist die entstehende Folge divergent, so heisst auch die ursprüngliche Folge divergent. — Noch einfacher ist es, die Indizes der a v so zu verschieben, dass sie von 1 an laufen, indem man setztGoogle Scholar
  3. 1).
    Augustin Louis Cauchy (1789–1857), der bedeutendste französische Mathematiker seit Lagrange.Bernhard Balzano (1781–1848) war vor allem Philosoph, hat aber eine Reihe von sehr wichtigen, rein mathematischen Entdeckungen gemacht, die für die Grundlegung der Infinitesimalrechnung von Bedeutung sind. Es ist bemerkenswert, dass er der einzige Fachphilosoph im 19. und 20. Jahrhundert ist, der auch in der Mathematik bedeutende Fachleistungen vollbracht hat, — während vom klassischen Altertum an bis zum 18. Jahrhundert es immer wieder bedeutende Philosophen gab, die zugleich erstrangige Mathematiker waren.Google Scholar
  4. 1).
    Wie man sieht, ist der mit dieser Formulierung erzielte Fortschritt immerhin damit erkauft, dass man mit der Differenz a v — a μ gewissermassen eine Funktion zweier Variablen v, μ zu betrachten hat.Google Scholar
  5. 2).
    Das Symbol oo für Unendlich verdankt man John Wallis (1616–1703), der es zuerst 1655 benutzt hat.Google Scholar
  6. 1).
    Hier spielt also C eine ganz analoge Rolle, wie e bei der eigentlichen Konvergenz.Google Scholar
  7. 1).
    Die Möglichkeit dieser Darstellung ist zuerst von Archimedes an einem sehr bemerkenswerten Beispiel dargetan worden in seiner auch heute noch lesenswerten Schrift: Über die Zählung des Sandes.Google Scholar
  8. 1).
    Deshalb ist die Aufgabe, durch einen Grenzübergang eine reine Ungleichheit herzuleiten, in den meisten Fällen relativ schwierig und verlangt Benutzung spezieller Kunstgriffe.Google Scholar
  9. 1).
    Die allgemeine Benutzung des Buchstabens e für diese Zahl geht auf Euler, 1736, zurück. Übrigens ist auch die Benutzung des Buchstabens n für das Verhältnis der Kreislinie zu ihrem Durchmesser Euler zu verdanken, der zuerst 1736 das Symbol n verwendet hat. Durch Eulers Introductio in Analysin Infinitorum wurde diese Verwendung 1748 im Allgemeingebrauch verwurzelt. Zum ersten Mal wurde allerdings der Buchstabe n in dieser Bedeutung von W. Jones, 1706, benutzt.Google Scholar
  10. 2).
    Charles Hermite (1822–1901).Google Scholar
  11. 3).
    Eine vereinfachte Fassung des Hermiteschen Beweises wird im Band III dieser Vorlesungen gebracht werden.Google Scholar
  12. 4).
    Ferdinand Lindemann (1852–1939).Google Scholar
  13. 1).
    Man beachte, dass s hier nicht als der «Grenzwert der Reihe» bezeichnet werden darf, obgleich man auch bei unendlichen Reihen von Konvergenz spricht.Google Scholar
  14. 1).
    Daher wird gelegentlich bei Konvergenzuntersuchungen die zu untersuchende Reihe mit dem Symbol ∑ a v bezeichnet, ohne Angabe der unteren Summationsgrenze.Google Scholar
  15. 1).
    Henri Poincaré (1854–1912).Google Scholar
  16. 1).
    Es wird dem aufmerksamen Leser nicht entgangen sein, dass beim obigen Beweis ein logisches Prinzip etwas ungewöhnlicher Art benutzt wird. Es wird nämlich für jedes natürliche v eine Auswahl von x v getroffen, wozu also eigentlich eine unendliche Folge von willkürlichen Willensakten notwendig ist ; und diese lässt sich sicher praktisch nicht realisieren. Insofern steckt in der obigen Schlussweise ein logisches Axiom, das nicht aus einfacheren logischen Postulaten herleitbar ist. Auf dieses Axiom, das sogenannte Auswahlaxiom hat zum ersten Mal E. Zermelo (1871–1953) aufmerksam gemacht und es zum Beweis eines fundamentalen Satzes der Mengenlehre verwendet. Im Anschluss daran wurde gegen die Berechtigung dieses Axioms und damit auch der oben benutzten Schlussweise sehr lebhaft polemisiert; doch hat sich seitdem wohl die Überzeugung allgemein durchgesetzt, dass ein Verbot der Benutzung des Zermeloschen Axioms die mathematische Forschung in nicht zu verantwortendem Masse hemmen würde.Google Scholar
  17. 1).
    Der systematische Gebrauch des Äquivalenzzeichens in dieser scharfen Bedeutung scheint auf G. H. Hardy und J. E. Littlewood, 1920, zurückzugehen, doch wurde dieses Symbol in einer ähnlichen Bedeutung bereits von T.J. I’A. Bromwich, 1908, und noch früher von P. du Bois-Reytnond, 1870, benutzt. Man bezeichnet übrigens gelegentlich die oben definierte Äquivalenz als die « asymptotische Äquivalenz ».Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1965

Authors and Affiliations

  • A. Ostrowski
    • 1
  1. 1.Universität BaselSchweiz

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