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Grundbegriffe

  • A. Ostrowski
Chapter
Part of the Mathematische Reihe book series (LMW, volume 4)

Zusammenfassung

Die Analysis ist derjenige Teil der Mathematik, der sich mit der Zahl befasst. Dabei interessiert sich die Analysis allerdings weniger für die individuellen Eigenschaften einzelner Zahlen — diese fallen vielmehr in die Domäne der sogenannten Zahlentheorie —, sondern für die Operationen, Rechnungen, die man mit den Zahlen ausführen kann.

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Literatur

  1. 1).
    Vgl. z.B. die in der Fußnote a.p. 17 angegebene Literatur.Google Scholar
  2. 1).
    Man könnte die vorstehende Tabelle als ein Axiomensystem für den Begriff der reellen Zahl ansehen im Sinne von Nr. 1. Doch ist diese Tabelle durchaus nicht so durchgebildet, wie die Axiomen-systeme in den axiomatischen Untersuchungen zu sein pflegen. Vielmehr waren bei der Zusammenstellung unserer Tabelle rein praktische Erwägungen massgebend.Google Scholar
  3. 2).
    Wie einschneidend dieser Unterschied sein kann, sieht man, wenn man als die Einheit eine Gruppe von drei gleichen Lebewesen nimmt, seien es auch nur Regenwürmer.Google Scholar
  4. 1).
    Die exakte Formulierung des Schlusses durch vollständige Induktion als logisches Beweisprinzip geht auf Pascals (1623–1662) traité du triangle arithmétique (1665) zurück. Doch hat sich dieses Prinzip seit Euklids Elementen allmählich in speziellen Anwendungen herausgearbeitet, so z. B. in besonders expliziter Weise in einem 1321 erschienenen Werk von Levi ben Gerson. In der Praxis wird allerdings die voUständige Induktion oft so gehandhabt, dass man dabei von «n — 1 auf n» anstatt von n auf n + 1 schliesst. Ebenso muss man oft zum Beweis von E für v + 1 diese Eigenschaft nicht nur für v voraussetzen, sondern für alle natürlichen Zahlen von v 0 bis v. Doch läuft dies darauf hinaus, dass man die Eigenschaft E von v durch eine andere Eigenschaft E von v ersetzt, die darin besteht, dass die Eigenschaft E eben für alle Zahlen v 0 , v 0 + 1, . . ., v zutrifft.Google Scholar
  5. 1).
    Die Formel (9,1) rührt übrigens durchaus nicht etwa von Newton her. Sie geht zumindest auf arabische und chinesische Quellen aus dem 12. bzw. 14. Jahrhundert zurück. Zur Berechnung der Binomialkoeffizienten K n (v) wurde in diesen ersten Darstellungen ein Schema benutzt, das heute als das Pascalsche arithmetische Dreieck bezeichnet wird. Die Produktdarstellung (9,2) für diese Grössen ist vielleicht zum ersten Mal von Henry Briggs (1556–1630) gefunden und aus seinem Nachlass 1633 veröffentlicht worden. Erst Pascal erkannte in der oben zitierten Schrift, dass die Grössen K n (v) als Anzahlen von Kombinationen aufgefaßt werden können. I. Newton (1643–1727) hat diese Formel in einer bereits 1669 verfassten, indessen erst 1711 veröffentlichten Schrift wiedergefunden. Die grosse Leistung von Newton auf diesem Gebiet besteht aber darin, dass es ihm gelang, die Formel (9,1) auch auf den Fall nichtganzzahliger Exponenten auszudehnen, wovon in § 28 dieser Vorlesungen noch die Rede sein wird. Den ersten auf der Methode der vollständigen Induktion beruhenden Beweis der Formel (9,1) hat anscheinend G. Fr. de Castillon 1742 gegeben.Google Scholar
  6. 2).
    Archimedes von Syrakus, geb. wahrscheinlich 287, gest. 212 v.Chr., der grösste Mathematiker des Altertums, einer der grössten Mathematiker aller Zeiten. Er beherrschte vollkommen die Ergebnisse und den klassischen Stil der vorarchimedischen Mathematik, war aber seinen sämtlichen Vorläufern an Scharfsinn und Können weit überlegen. Darüber hinaus teilte er die von seinen Vorläufern ostentativ zur Schau getragene Verachtung für Anwendungen der Mathematik in keiner Weise. Dadurch war es ihm möglich, in einem gewissen Masse die Hemmungen zu überwinden, die das scholastisch starre Festhalten am klassischen Zahlbegriff für die Mathematik des Altertums bedeutete. An diesem Zahlbegriff, der das Irrationale (und übrigens auch die Einheit) ausschloss, ist aber die Mathematik des Altertums schliesslich doch gescheitert. Denn hier hat auch Archimedes keine Schule zu machen vermocht. Wurden die in vollendetem Stil abgefassten Schriften des Archimedes von Mathematikern mit scheuer Bewunderung betrachtet, so haben ihm zugleich seine Entdeckungen in der Mechanik wohl als erstem der grossen Denker der Menschheit zur «Massenpopularität» verholfen, so sehr, daß sein Name im Altertum geradezu zur Bezeichnung scharfsinniger Leistungen verwendet wurde. Der um sein Leben gewobene Legendenkranz wurde zum Vorbild für Anekdoten, die man seitdem so gern über grosse Gelehrte erzählt.Google Scholar
  7. 3).
    Archimedes selbst zitiert eine Betrachtung des Eudoxus von Knidos (um 408 bis 355 v.Chr.), in der dieses Axiom als Lemma benutzt wird. Doch scheint es, dass eine analoge Methode bereits vor Eudoxus bekannt gewesen war.Google Scholar
  8. 1).
    Es ist im allgemeinen erlaubt, mehrere hintereinanderzuschreibende Formeln zusammenzuziehen, wenn jedesmal die rechte Seite der vorhergehenden Formel mit der linken Seite der nachfolgenden Formel identisch ist. Doch dürfen in einer so entstehenden zusammengesetzten Formel nicht zugleich gegensinnige Ungleichheitszeichen vorkommen, also z. B. ≦ und.Google Scholar
  9. 1).
    Das Prinzip der soeben benutzten Überlegung ist von allgemeiner Tragweite. Versucht man, das logische Skelett dieser Überlegung herauszuarbeiten, so kommt man auf die folgende, notwendigerweise etwas abstrakte Formulierung: Es mögen in einem bestimmten Zusammenhang die Fälle A, B,C, . . . eine vollständige Fallunterscheidung oder, wie man auch sagt, eine «vollständige Disjunktion» darstellen. Dies bedeutet, dass diese Fälle einander ausschliessen und dass einer dieser Fälle stets zutreffen muss. Es mögen in diesen Fällen resp. die Aussagen a, b, c, . . . gelten, die einander ausschliessen. Dann ist z. B. die Gültigkeit von a für das Zutreffen des Falles A nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend. — Da die Wiederholung dieser Überlegung in jedem einzelnen Falle zu eintönig wäre, pflegt man sich, wenn das obige Schema angewandt werden kann, einfach darauf zu berufen, dass die notwendigen Bedingungen auch hinreichend sein müssen, «da die betreffende Fallunterscheidung eine vollständige Disjunktion darstelle».Google Scholar
  10. 1).
    Wer sich für diese Frage interessiert, findet in der Basler Inaugural-Dissertation von Th. Motzkin, Beiträge zur Theorie der linearen Ungleichungen, 1936, eine ausführliche Darstellung des Gegenstandes, sowie eine sehr vollständige Zusammenstellung der diesbezüglichen Literatur bis 1935. Die vollständige Lösung von Systemen von mehreren linearen Ungleichungen mit mehreren Unbekannten ist ein praktisch sehr schwieriges Problem. Seine Behandlung verlangt in der Regel die Auflösung von zahlreichen Systemen von linearen Gleichungen und den Vergleich der erhaltenen Lösungen. Obwohl solche Systeme von Ungleichungen von sehr grosser Bedeutung in vielen praktischen Problemen der Wirtschafts- und Arbeitsorganisation sind, konnte ihre Behandlung rechnerisch erst seit etwa zwei Jahrzehnten in Angriff genommen werden, seit man in den elektronischen Rechenmaschinen ein Mittel fand, um Systeme linearer Gleichungen schnell aufzulösen. Heute sind Untersuchungen über diesen Gegenstand in vollem Flusse.Google Scholar
  11. 1).
    Wir werden in diesen Vorlesungen, wie dies hier bei der Formel (17,1) geschieht, nach Möglichkeit hinter jeder Formel in Klammern angeben, für welche Werte der in der Formel auftretenden Grössen die Formel richtig ist. Dies wird auch dann geschehen, wenn diese Angaben bereits im Text vorweggenommen sind. Dadurch kann man sich beim späteren Nachschlagen mit einem Blick auf die Formelzeile über den Umfang der in ihr enthaltenen Aussage orientieren.Google Scholar
  12. 1).
    Dieses Zeichen für den absoluten Betrag, ebenso wie die obige Benennung, ist von Karl Weierstrass (1815–1897) 1859 eingeführt worden.Google Scholar
  13. 1).
    Der so definierte Funktionsbegriff wurde früher oft als der Dirichletsche Funktionsbegriff bezeichnet, unter. Berufung auf eine Stelle in einer Arbeit Peter Gustav Lejeune-Dirichlets (1805–1859) von 1837 über die trigonometrischen Reihen, Gesammelte Werke, Bd. 1, pp. 135ff. Doch findet sich in Wahrheit an dieser Stelle die obige Definition durchaus nicht in ihrer vollen Allgemeinheit, schon weil dort nur von stetigen Funktionen die Rede ist. Nach H. Burkhardts Ansicht (Enz. d. Math. Wiss., Bd. II, erster Halbband, zweiter Teil, pp. 967 ff.) hat als erster A. A. Cournot in seiner Théorie des fonctions, tome 1, Paris 1841, p. 5., den Funktionsbegriff von jeder algorithmischen oder geometrischen Darstellung freigemacht. Es ist indessen schwer, zu sagen, wer als erster die obige Definition in ihrem vollen Umfang formuliert hat. Möglicherweise steht sie zuerst bei H. Hankel, Untersuchungen über die unendlich oft oscillirenden und unstetigen Funktionen, Gratulationsprogramm der Tübinger Universität 1870, wiederabgedruckt in den Math. Ann., Bd. 20, pp. 62–112. Hankel dürfte vielleicht auch diesen Funktionsbegriff zuerst als den Dirichletschen bezeichnet haben.Google Scholar
  14. 2).
    Die erste Benutzung von Buchstaben zur Bezeichnung von Funktionen geht auf Johann Bernoulli (1667–1748, jüngerer Bruder von Jakob Bernoulli und Vater von Daniel Bernoulli) 1694 zurück. Vier Jahre später schlägt Johann Bernoulli vor, eine Funktion des Argumentes x mit X oder mit ξ zu bezeichnen, damit man von diesen Bezeichnungen auf das Argument schliessen kann. Diese Idee verlässt er indessen 1718, um eine Funktion mit dem Buchstaben Φ zu bezeichnen, wobei das Argument nunmehr ohne Klammern rechts hinzugefügt wird. Er schreibt also Φ x, anstatt, wie wir heute schreiben würden, Φ(x). Φ heisst dabei «la caractéristique de la fonction». Das Einklammern des Argumentes geht auf Leonhard Euler (1707–1783) 1735 zurück. Ebenso verdankt man Johann Bernoulli die Benutzung des Wortes Funktion zur Bezeichnung allgemeiner funktionaler Abhängigkeiten, und zwar 1698 in einem Brief an Leibniz und 1706 im Druck. In einer spezielleren Bedeutung wurde das Wort Funktion bereits 1694 von Leibniz benutzt, der aber später den Bernoullischen Vorschlag des allgemeineren Wortgebrauchs ausdrücklich billigte.Google Scholar
  15. 1).
    Nämlich, wie man sofort verifizieren kann, durch das PolynomGoogle Scholar
  16. 2).
    Es braucht kaum daran erinnert zu werden, dass diese Formel nur für kleine p einigermassen exakt ist. Wesentlich genauer wird der Zusammenhang durch die sogenannte van der Waalssche Zustandsgieichung beschrieben.Google Scholar
  17. 3).
    Vgl. Statistisches Jahrbuch der Schweiz, 1942, p. 84.Google Scholar
  18. 4).
    Die obigen Werte sind der fünfstelligen Logarithmentafel von E.Voellmy (1939), p. 147, entnommen. Unsere Tabelle zeigt allerdings zugleich, in welcher Weise bei einer tafelmässigen Darstellung die Eigentümlichkeiten des Funktionsverlaufs verlorengehen können, wenn der «Tafelschritt» der Art der funktionalen Abhängigkeit nicht angepasst ist. In der Tat scheint nach der obigen Tafel v als Funktion von t einen durchaus regelmässigen Gang aufzuweisen und zwar mit wachsendem t von t = 0 an zu wachsen. Bekanntlich besitzt aber im Falle des Wassers v als Funktion von t bei t = 4° ein Minimum. v fällt zwischen 0° und 4° und beginnt erst von da an zu wachsen.Google Scholar
  19. 1).
    Dem gewöhnlichen Sprachgebrauch gemäss sollte man eigentlich auch Zahlenfolgen aus endlichen vielen Gliedern zulassen. Doch müsste man dann bei unendlichen Zahlenfolgen fortgesetzt das Wort «unendlich» hinzufügen. Daher wollen wir die obige Festsetzung treffen, dagegen, wenn es sich um eine Folge endlich vieler Zahlen handelt, dann von einer Zahlensequenz sprechen.Google Scholar
  20. 1).
    Die obige Festsetzung geht im wesentlichen auf Descartes, Géométrie, 1637 zurück. Vor Descartes wurde eine Zeitlang die Vietasche Regel befolgt, für die unbekannten Grössen oder die Variablen die Vokale, für die bekannten die Konsonanten zu benutzen.Google Scholar
  21. 2).
    Diese Bezeichnung dürfte von C. S. Peirce 1867 eingeführt worden sein. Man benutzt gelegentlich auch die von E. Schröder 1890 eingeführte Bezeichnung a C A und in den letztenGoogle Scholar
  22. 1).
    Diese Differenzenbezeichnung wurde 1755 von Euler eingeführt. Die systematische Theorie der Differenzen bildet den Gegenstand der sogenannten Differenzenrechnung, die von Newton 1711 begründet und von Brook Taylor (1685–1731), 1715, in einem Lehrbuch ausführlich entwickelt und dargestellt wurde.Google Scholar
  23. 2).
    Man nennt dann die Funktion F(x) eine Summenfunktion von f(x). Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1965

Authors and Affiliations

  • A. Ostrowski
    • 1
  1. 1.Universität BaselSchweiz

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