Advertisement

Sur une q-déformation locale de la théorie de Hodge non-abélienne en caractéristique positive

  • Michel GrosEmail author
Conference paper
  • 58 Downloads
Part of the Simons Symposia book series (SISY)

Abstract

Pour p un nombre premier et q une racine p-ième non triviale de 1, nous présentons les principales étapes de la construction d’une q-déformation locale de la “correspondance de Simpson en caractéristique p” dégagée par Ogus et Vologodsky en 2005. La construction est basée sur l’équivalence de Morita entre un anneau d’opérateurs différentiels q-déformés et son centre. Nous expliquons aussi les liens espérés entre cette construction et celles introduites récemment par Bhatt et Scholze. Pour alléger l’exposition, nous nous limitons au cas de la dimension 1. For p a prime number and q a non trivial pth root of 1, we present the main steps of the construction of a local q-deformation of the “Simpson correspondence in characteristic p” found by Ogus and Vologodsky in 2005. The construction is based on the Morita-equivalence between a ring of q-twisted differential operators and its center. We also explain the expected relations between this construction and those recently done by Bhatt and Scholze. For the sake of readability, we limit ourselves to the case of dimension 1.

Keywords

p-adic Hodge theory q-deformation Rings of differential operators 

References

  1. 1.
    A. Abbes, M. Gros, T. Tsuji: The \(p\)-adic Simpson correspondence. Annals of Math. Stud. 193, Princeton Univ. Press (2016)Google Scholar
  2. 2.
    P. Berthelot: \(D\)-modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini. Ann. Sc. de l’É.N.S, 4 ième série, t. 29, n. 2, 185–272 (1996)Google Scholar
  3. 3.
    B. Bhatt, P. Scholze: Prisms and prismatic cohomology. arXiv:1905.08229v2 (2019)
  4. 4.
    B. Bhatt, M. Morrow, P. Scholze: Integral \(p\)-adic Hodge theory. Publ. Math. Inst. Hautes études Sci. 128, 219–397 (2018)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  5. 5.
    P. Deligne, L. Illusie: Relèvements modulo \(p^2\) et décomposition du complexe de de Rham. Inv. Math. 89, 247–270, (1987)CrossRefGoogle Scholar
  6. 6.
    M. Gros, B. Le Stum: Une neutralisation explicite de l’algèbre de Weyl quantique complétée. Comm. Algebra 42 no. 5, 2163–2170, (2014)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  7. 7.
    M. Gros, B. Le Stum, A. Quirós: En préparationGoogle Scholar
  8. 8.
    M. Gros, B. Le Stum, A. Quirós: A Simpson correspondence in positive characteristic. Pub. RIMS Kyoto Univ. 46, 1–35, (2010)MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  9. 9.
    M. Gros, B. Le Stum, A. Quirós: Twisted divided powers and applications. J. Number Theory (2019),  https://doi.org/10.1016/j.jnt.2019.02.009
  10. 10.
    N. Katz: Nilpotent connections and the monodromy theorem: applications of a result of Turrittin. Publ. Math. IHÉS 39, 175–232, (1970)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  11. 11.
    B. Le Stum, A. Quirós: Twisted calculus. Communications in Algebra, 46:12 (2018), 5290–5319.  https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1464168MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  12. 12.
    B. Le Stum, A. Quirós: Formal confluence of quantum differential operators. Pacific Journal of Mathematics 292(2), 427–478, (2018).  https://doi.org/10.2140/pjm.2018.292.427MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  13. 13.
    A. Ogus, V. Vologodsky: Non abelian Hodge theory in characteristic \(p\). Publ. Math. IHÉS 101, 1–138, (2007)CrossRefGoogle Scholar
  14. 14.
    H. Oyama: PD Higgs crystals and Higgs cohomology in characteristic \(p\). J. Algebraic Geom. 26, 735–802, (2017)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  15. 15.
    J. P. Pridham: On \(q\)-De Rham cohomology via \(\varLambda \)-rings. Math. Annalen.  https://doi.org/10.1007/s00208-019-01806-7
  16. 16.
    P. Scholze: Canonical \(q\)-deformations in arithmetic geometry. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 26, no. 5, 1163–1192, (2017)Google Scholar
  17. 17.
    A. Shiho: Notes on generalizations of local Ogus-Vologodsky correspondence. J. Math. Sci. Univ. Tokyo 22, 793–875 (2015)MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  18. 18.
    T. Tsuji: Exposé du 12 Mai 2017 au Simons Symposium on \(p\)-adic Hodge theory et articles en préparation dont un en collaboration avec Matthew MorrowGoogle Scholar
  19. 19.
    D. Xu: Lifting the Cartier transform of Ogus-Vologodsky modulo \(p^n\). Mémoires de la Société Mathématique de France, t. 163 (2019)Google Scholar

Copyright information

© Springer Nature Switzerland AG 2020

Authors and Affiliations

  1. 1.IRMAR, Université de RennesRennes CedexFrance

Personalised recommendations