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Das quadratische Reziprozitätsgesetz

  • Gernot StrothEmail author
  • Rebecca Waldecker
Chapter
Part of the Mathematik Kompakt book series (MAKO)

Zusammenfassung

Wenn \(a, b \in \mathbb {Z}\) sind, wann ist dann die Gleichung \(x^2 + ax + b = 0\) ganzzahlig lösbar? Dazu betrachten wir die Gleichung modulo einer Primzahl p. Quadratische Ergänzung liefert \((x^2 +a)^2 \equiv a^2 - 4b\) modulo 4p. Setzen wir also \(z := a^2 - 4b\), so löst \(y = 2xa\) die Kongruenz \(y^2 \equiv z\) modulo p. Wann hat nun diese Kongruenz eine Lösung? Es sind zwei Perspektiven möglich: Wir können p festhalten und dann nach den Zahlen z fragen, für die die Kongruenz lösbar ist, oder wir halten z fest und suchen nach Primzahlen p. Überraschend ist, dass diese beiden Fragen nicht unabhängig voneinander sind. Die Verbindung liefert das quadratische Reziprozitätsgesetz, das im Zentrum dieses Kapitels steht.

Copyright information

© Springer Nature Switzerland AG 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für MathematikUniversität Halle – WittenbergHalleDeutschland

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