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Une nouvelle interprétation de la formule des traces de Selberg

  • Pierre Cartier
  • André Voros
Chapter
Part of the Modern Birkhäuser Classics book series

Abstrait

La formule des traces de Selberg, pour une surface de Riemann compacte, à courbure constante négative, est présentée habituellement comme une relation portant sur la transformée de Fourier des distributions liées aux longueurs des géodésiques périodiques, et aux valeurs propres du laplacien. De manière plus précise, soit X une telle surface de genre g ≥ 2, munie d’une métrique riemannienne, avec une courbure constante normalisée par K= −1. On note \( \mathcal{P} \) ’ensemble des géodésiques périodiques orientées primitives sur X, et τ(p) la longueur d’une telle géodésique p. On note aussi ΔX l’opérateur de Laplace-Beltrami sur X, et la suite des valeurs propres de −ΔX est représentée sous la forme
$$ 0 = \lambda _0< \lambda _1\leqslant \lambda _2\leqslant\cdots\leqslant \lambda _n\leqslant \lambda _{n + 1}\leqslant\cdots . $$
Pour tout n ≥ 0, on choisit une des racines carrées ρn de λn41. Sous forme symbolique, on peut écrire comrne suit la formule de Selberg
$$ \begin{array}{*{20}c} {(1)\sum\limits_{n = 0}^\infty{\cos \tau \rho _n=- \tfrac{1} {2}(g - 1)} \frac{{\cosh \tau /2}} {{\sinh ^2 \tau /2}}}\\ { + \sum\limits_{p \in \mathcal{P}} {\sum\limits_{m \ne 0} {\frac{{\tau (p)}} {{4\sinh (|m|\tau (p)/2)}}} \delta (\tau- m\tau (p));} }\\ \end{array} $$
les deux membres de cette formule contiennent des séries qui convergent au sens des distributions.

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Références

  1. [BB]
    R. BALIAN et C. BLOCH, Solution of the Schrödinger equation in terms of classical paths, Ann. Phys.85 (1974), 514–545.CrossRefGoogle Scholar
  2. [BV]
    N.L. BALAZS et A. VOROS, Chaos on the pseudosphere, Physics reports, 143 (1986), 109–240.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  3. [BGM]
    M. BERGER, P. GAUDUCHON et E. MAZET, Le spectre d’une variété riemannienne, Springer Lect. Notes in Math., vol. 194, 1971.Google Scholar
  4. [CV]
    P. CARTIER et A. VOROS, Une nouvelle interprétation de la formule des traces de Selberg, C.R. Acad. Sci. Paris, 307 (1988), Sér. I, 143–148.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  5. [CH]
    J. CHAZARAIN, Formule de Poisson pour les variétés riemanniennes, Inv. Math.24 (1974), 65–82.CrossRefGoogle Scholar
  6. [CDV]
    Y. COLIN DE VERDIÈRE, Spectre du laplacien et longueur des géodésiques fermées II, Comp. Math.27 (1973), 159–184.zbMATHGoogle Scholar
  7. [CHI]
    R. COURANT et D. HILBERT, Methods of mathematical physics, vol. I, Interscience, 1965.Google Scholar
  8. [CR]
    H. CRAMER, Studien über die Nullstellen der Riemannscher Zetafunktion, Math. Zeitschrift 4 (1919), 104–130.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  9. [DE]
    J. DELSARTE, Formules de Poisson avec reste, J. Anal. Math. 17 (1966), 419–431.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  10. [DI]
    L.A. DIKII, Trace formulas for Sturm-Liouville differential operators, Usp. Mat. Nauk., 13 (1958), 111–143 (Translations AMS Series 2, 18, 81–119).MathSciNetGoogle Scholar
  11. [DG]
    J.J. DUISTERMAAT et V.W. GUILLEMIN, The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics, Inv. Math.29 (1975), 39–79.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  12. [EL]
    J. ELSTRODT, Die Selbergsche Spurformel für kompakte Riemannsche Flächen, Jahrber. der D. Math.-Verein, 83 (1981), 45–77.zbMATHGoogle Scholar
  13. [EMF]
    W.J. ELLISON et M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, Hermann, 1975.Google Scholar
  14. [FI]
    J. FISCHER, An approach to the Selberg trace formula via the Selberg zeta function, in Springer Lect. Notes in Math. vol. 1283 (pp. 145–161), 1987.Google Scholar
  15. [FR]
    D. FRIED, Analytic torsion and closed geodesics on hyperbolic manifolds, Inv. Math.84 (1986), 523–540.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  16. [GL]
    I.M. GELFAND et B.M. LEVITAN, On a simple identity for eigenvalues of second order differential operators, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 88 (1953), 593–596.Google Scholar
  17. [GN]
    A.P. GUINAND, Fourier reciprocities and the Riemann zeta-function, Proc. London Math. Soc. Series 2, 51 (1950), 401–414.Google Scholar
  18. [GU]
    V.W. GUILLEMIN, Lectures on spectral theory of elliptic oper-ators, Duke Math. J.44 (1977), 485–517.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  19. [GZ]
    M.C. GUTZWILLER, Physics and Selberg’s trace formula, Contemp. Math.53 (1986), 215–252.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  20. [HE1]
    D.A. HEJHAL, The Selberg trace formula and the Riemann zeta function, Duke Math. J.43 (1976), 441–482.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  21. [HE2]
    D.A. HEJHAL, The Selberg trace formula for PSL(2,R), vol. 1, Springer Lect. Notes in Math. 548 (1976); vol. 2, ibid. 1001 (1983).Google Scholar
  22. [HU]
    H. HUBER, Zur analytischen Theorie der hyperbolischen Raumformen und Bewegungsgruppen, Math. Ann.138 (1959), 1–26.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  23. [MK]
    H.P. McKEAN, Selberg’s trace formula as applied to a Riemann compact surface, Comm. Pure Appl. Math.25 (1972), 225–246.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  24. [RA]
    B. RANDOL, On the analytic continuation of the Minakshisundaram-Pleijel zeta function for compact Riemann surfaces, Trans. Amer. Math. Soc.201 (1975), 241–246.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  25. [RS]
    D.B. RAY et I. SINGER, Analytic torsion for complex manifolds, Ann. of Math.98 (1973), 154–177.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  26. [SA]
    P. SARNAK, Determinants of Laplacians, Comm. Math. Phys.110 (1987), 113–120.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  27. [SE]
    A. SELBERG, Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces, with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc.20 (1956), 47–87.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  28. [T]
    E.C. TITCHMARSH, The theory of functions, Oxford University Press, 1939.Google Scholar
  29. [VI]
    M.F. VIGNERAS, Equation fonctionnelle de la fonction zéta de Selberg pour le groupe modulaire PSL(2,Z), Astérisque, 61 (1979), 235–249.zbMATHGoogle Scholar
  30. [V1]
    A. VOROS, The return of the quartic oscillator: The complex WKB method, Ann. Inst. H. Poincaré, A39 (1983), 211–338.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  31. [V2]
    A. VOROS, Spectral functions, Special functions and the Selberg zeta function, Comm. Math. Phys.111 (1987), 439–465.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  32. [W]
    A. WEIL, Sur les “formules explicites” de la théorie des nombres premiers, in Œuvres Scientifiques, vol. II, 48–61, Springer, 1980.Google Scholar

Copyright information

© Birkhäuser Boston 2007

Authors and Affiliations

  • Pierre Cartier
    • 1
  • André Voros
    • 2
  1. 1.Institut des Hautes Études ScientifiquesBures-sur-YvetteFrance
  2. 2.Service de Physique ThéoriqueCENSaclay (Essonne)France

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