Rechnerische Behandlung des Erdschlußproblems

Zusammenfassung

Die symbolische Rechnung ist aus den Eigenschaften der Gaußsehen Zahlenebene aufgebaut. Diese umfaßt bekanntlich die zweifach unendliche Mannigfaltigkeit aller Punkte der Ebene, die nach zwei normal aufeinanderstehenden Achsen orientiert sind. Die eine der beiden Achsen vertritt dann die Gesamtheit aller reellen Zahlen, während die zweite alle imaginären Zahlen enthält. Demgemäß heißen die Achsen die reelle und imaginäre Achse. Abb. 2 zeigt das Achsenkreuz in der üblichen Zuordnung zueinander. Jeder Punkt s der Ebene ist dann durch zwei Zahlenangaben bestimmt, nämlich durch den reellen Betrag a und den imaginären Betrag jb, das heißt also durch die komplexe Zahl a + jb. Faßt man den Punkt als Endpunkt eines Vektors aus dem Ursprung O auf, so ist die komplexe Zahl gleichzeitig der mathematische Ausdruck für diesen Vektor, so daß man schreiben kann

$$<m:math display="block"><mrow><mo mathvariant="fraktur">S</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>j</mi><mi>b</mi></mrow></m:math>$$

Hierin bedeuten a und b die „reelle“ und „imaginäre“ Komponente und es ist ferner der Betrag von

$$<m:math display="block"><mrow><mi>S</mi><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo> <mo mathvariant="fraktur">S</mo> <mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt></mrow></m:math>$$

und die Komponenten

$$ \begin{array}{*{20}{c}} {a = S\cos \sigma } \\ {jb = jS\sin \sigma } \end{array} $$

Damit läßt sich allgemein schreiben:

$$ \mathfrak{S} = a + jb = S\left( {\cos \sigma + j\sin \sigma } \right) = S{\mathfrak{e}^{j\sigma }} $$

((1))

worin e die Basis des natürlichen Logarithmensystems und σ der Winkel, den der Vektor mit der positiven reellen Achse einschließt, bedeutet. Als positive Richtung ist dann stets jene, entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn, einzusetzen.