Punkt- und Zahlenmengen

Zusammenfassung

Die Menge der reellen Zahlen, auf die wir uns im folgenden zunächst beschränken wollen, läßt sich auf einer Geraden darstellen, wenn man einen beliebigen Punkt auf der Geraden als Nullpunkt festsetzt und einem zweiten Punkt die Zahl 1 zuordnet, so daß die Strecke zwischen diesen beiden Punkten als Maßstab dient, um jeder positiven oder negativen reellen Zahl x einen bestimmten Punkt der „Zahlenlinie“ zuzuordnen; x heißt dann die Abszisse dieses Punktes. Mitunter identifiziert man Punkte und Zahlen und spricht kurz vom „Punkt x“ einer Geraden. Man nennt zwei Mengen äquivalent, wenn sich jedem Element der einen Menge eindeutig ein Element der zweiten Menge zuordnen läßt und wenn diese Zuordnung auch umkehrbar eindeutig ist, also jedem Element der zweiten Menge auch nur ein Element der ersten Menge entspricht. Eine solche umkehrbar eindeutige Zuordnung heißt auch eine eineindeutige Zuordnung. Das Stetigkeitsaxiom der Geraden, welches von Dedekind¹ formuliert wurde, besagt, daß die Menge der reellen Zahlen und die Menge der Punkte einer Geraden äquivalent sind, d. h. daß sich jedem Punkt der Geraden eindeutig eine Zahl und umgekehrt jeder Zahl ein und nur ein Punkt der Geraden zuordnen läßt. Für diesen Satz gibt es keinen Beweis, er ist ein Axiom, wie man Fundamentalsätze zu nennen pflegt, die aus der Anschauung entnommen und nicht weiter zu beweisen sind. Das Stetigkeitsaxiom ist eine Aussage über die Struktur des mathematischen Begriffes „gerade Linie“ und bildet letzten Endes die Grundlage der analytischen Geometrie, die darauf beruht, einer reellen Zahl, einem Zahlenpaar oder Zahlentripel einen Punkt einer Geraden, einer Ebene oder des Raumes zuzuordnen, indem die Zahlen als „Koordinaten“ des Punktes aufgefaßt werden, was aber nur möglich ist, wenn das Stetigkeitsaxiom gilt.