Unstetigkeit. Sätze über stetige Funktionen

Zusammenfassung

Ich beginne mit einigen ergänzenden Bemerkungen über unstetige Funktionen, und zwar betrachte ich vor allem den Fall, daß eine Funktion an einer Stelle x₀ unstetig, in der Umgebung von x₀ jedoch stetig ist. An einer solchen Unstetigkeitsstelle existiert entweder kein Funktionswert oder kein Grenzwert oder, wenn sowohl Funktionswert als auch Grenzwert existieren, stimmen sie nicht überein. Der wichtigste Fall einer Unstetigkeit ist jedenfalls der, daß an der Stelle x₀ nur ein uneigentlicher Grenzwert ±∞ existiert. Man spricht dann von einer Unstetigkeit durch Unendlichwerden der Funktion. Von den übrigen Arten von Unstetigkeiten erscheinen auch wieder die als die interessanteren, bei denen kein Grenzwert existiert, wie dies beispielsweise bei der Funktion f(x) = sin 1/x (§ 9, 1, Abb. 18) an der Stelle x₀ = 0 der Fall ist und diese Funktion zeigt auch in der Umgebung dieser Stelle ein recht sonderbares Verhalten. Von anderer Art ist die sogenannte Unstetigkeit durch endlichen Sprung, die z. B. bei der Funktion f(x) = sign x an der Stelle x₀ = 0, an der kein Funktionswert existiert (§ 8, 1, Abb. 8), und bei der Funktion f(x) = [x] (§ 8, 1, Abb. 11) bei jedem ganzzahligen Wert von x auftritt, obgleich diese Funktion an allen Unstetigkeitsstellen definiert ist. Es existieren zwar rechts- und linksseitiger Grenzwert, aber da diese verschieden sind, nicht der Grenzwert schlechthin. Existiert der Grenzwert an der Stelle x₀, aber nicht der Funktionswert, oder ist der Funktionswert vom Grenzwert verschieden, so handelt es sich um eine hebbare Unstetigkeit.