Konvergenzkriterien

Zusammenfassung

Eine der gebräuchlichsten Methoden zur Feststellung der Konvergenz einer gegebenen Reihe beruht auf dem Vergleich mit einer anderen Reihe, deren Konvergenzverhalten bekannt ist. Ich gebe zunächst zwei einfache Begriffe: Es seien Σu _v die zu untersuchende Reihe und Σa _v bzw. Σb _v zwei andere Reihen mit positiven Gliedern (a _v > 0, b _v > 0); gilt nun von einem bestimmten Wert N₁ an, also für v ≧ N₁

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so heißt Σa _v eine Oberreihe oder Majorante von Σu _v ; gilt dagegen von einem bestimmten Wert N₂ an, also für v ≧ N₂

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so heißt Σb _v eine Unterreihe oder Minorante von Σu _v . Die Methode der Reihen vergleichung gründet sich nun auf den folgenden Satz:

Die Reihe Σu _v ist absolut konvergent, wenn eine konvergente Majorante existiert, sie konvergiert jedoch sicher nicht absolut, wenn eine divergente Minorante existiert.