Krümmung und Windung. Die natürlichen Gleichungen einer Kurve

Zusammenfassung

Denken wir uns im Ursprung des Koordinatensystems drei Einsvektoren angesetzt, die zu den Vektoren des begleitenden Dreibeins einer Kurve D jeweils parallel sind, so beschreiben diese drei Vektoren drei Kurven, die alle auf der Einheitskugel mit dem Mittelpunkt im Ursprung liegen, nämlich das Tangentenbild D₁

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((18,01))

das HaubtnormalenbildD₂

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((18,02))

und schließlich das Binormalenbild D₃

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((18,03))

der gegebenen Raumkurve D. Seien s ₁, s ₂ und s ₃ der Reihe nach die von irgendwelchen Anfangspunkten (z. B. von den zu s = 0 gehörigen Punkten aus) gemessenen Bogenlängen dieser drei Kurven. Dann ist die Krümmung x von D der Grenzwert des Ver hältnisses der Bogenlängen entsprechender Stücke von D ₁ und D und die Torsion τ von D der Grenzwert des Verhältnisses der Bogenlängen entsprechender Stücke von D₃ und D, d. h. es gilti

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((18,04))

Man überzeugt sich leicht, daß die so definierten Funktionen x(s) und τ(s) mit den Invarianten der Frenetschen Formeln (17, 15) übereinstimmen. Es ist ja nach (18, 01) und (17, 15)

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und nach (18, 03)

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